【题目】已知 y_1(x)=e^x y_2=u(x)e^x 是二阶微分方程 (2x-1)y''-(2x+1)y'+2y=0 的解若u(-1)=e,u(0)=-1,求u(x),并写出该微分方程的通解

考查要点：本题主要考查二阶线性齐次微分方程的解的结构及降阶法的应用，以及利用初始条件确定特解。

解题核心思路：

1. 验证已知解：首先验证$y_1(x)=e^x$是否满足原方程。
2. 构造第二个解：设$y_2(x)=u(x)e^x$，代入原方程，通过降阶法将二阶方程转化为关于$u'(x)$的一阶方程，进而求解$u(x)$。
3. 应用初始条件：利用$u(-1)=e$和$u(0)=-1$确定积分常数，得到$u(x)$的具体表达式。
4. 写出通解：根据两个线性无关的解，写出微分方程的通解。

破题关键点：

• 降阶法：通过已知解$y_1$构造$y_2$，将原方程降阶为关于$u'(x)$的方程。
• 积分技巧：对分部积分法的熟练应用，以及正确处理积分常数。

验证$y_1(x)=e^x$是解

计算$y_1$的导数：
$y_1 = e^x, \quad y_1' = e^x, \quad y_1'' = e^x$
代入原方程：
$(2x-1)e^x - (2x+1)e^x + 2e^x = [ (2x-1) - (2x+1) + 2 ]e^x = 0$
验证成立，故$y_1$是解。

设$y_2(x)=u(x)e^x$并代入方程

计算$y_2$的导数：
$y_2 = u e^x, \quad y_2' = u'e^x + u e^x, \quad y_2'' = u''e^x + 2u'e^x + u e^x$
代入原方程并整理得：
$(2x-1)u''e^x + (2x-3)u'e^x = 0$
两边除以$e^x$后，令$v=u'$，方程化简为：
$(2x-1)v' + (2x-3)v = 0$

解关于$v$的一阶方程

分离变量并积分：
$\frac{dv}{dx} = -\frac{2x-3}{2x-1}v \implies \int \frac{1}{v} dv = -\int \frac{2x-3}{2x-1} dx$
计算积分：
$\ln|v| = -x + \ln|2x-1| + C \implies v = C e^{-x}(2x-1)$
即：
$u' = C e^{-x}(2x-1)$

积分求$u(x)$并应用初始条件

积分$u'$：
$u = \int C e^{-x}(2x-1) dx + D = -C e^{-x}(2x+1) + D$
代入$u(-1)=e$和$u(0)=-1$：
$\begin{cases}C e + D = e \\-C + D = -1\end{cases} \implies C=1, \ D=0$
故：
$u(x) = -(2x+1)e^{-x}$

通解形式

通解为两个线性无关解的线性组合：
$y(x) = C_1 e^x + C_2 (2x+1)$