题目

6.设n阶矩阵A满足A^2+2A-3E=0，证明A及A+4E均可逆，并求它们的逆.

6.设n阶矩阵A满足$A^{2}+2A-3E=0$，证明A及$A+4E$均可逆，并求它们的逆.

题目解答

答案

由方程 $A^2 + 2A - 3E = 0$，可得 $A(A + 2E) = 3E$。

  1. 证明 $A$ 可逆并求逆：
    由于 $A(A + 2E) = 3E$，且 $3E$ 可逆，故 $A$ 可逆，其逆为 $A^{-1} = \frac{1}{3}(A + 2E)$。

  2. 证明 $A + 4E$ 可逆并求逆：
    假设 $(A + 4E)^{-1} = aA + bE$，则
    $(A + 4E)(aA + bE) = E \implies aA^2 + (b + 4a)A + 4bE = E.$
    代入 $A^2 = 3E - 2A$，得
    $a(3E - 2A) + (b + 4a)A + 4bE = E \implies (3a + 4b)E + (2a + b)A = E.$
    解得 $a = -\frac{1}{5}$，$b = \frac{2}{5}$，故
    $(A + 4E)^{-1} = \frac{1}{5}(2E - A).$

答案：
$\boxed{\begin{array}{cc}A^{-1} = \frac{1}{3}(A + 2E), \$A + 4E)^{-1} = \frac{1}{5}(2E - A).\end{array}}$