【例2】(2024广东)某社区计划组织志愿者为社区内的独居老人提供服务。按已有志愿者的数量，如果每位志愿者服务10位老人，则有5位老人无人提供服务；如果增加2位志愿者，则每位志愿者最多服务8位老人就能为所有老人提供服务。那么该社区最多有（）位独居老人。A. 50B. 55C. 60D. 65

考查要点：本题主要考查一元一次不等式的建立与求解，以及实际问题的数学建模能力。关键在于根据题目描述建立正确的不等式关系，并通过解不等式确定变量的整数解。

解题核心思路：

1. 设定变量：设原有志愿者人数为$x$，独居老人总数为$E$。
2. 建立初始关系：根据第一种情况，$E = 10x + 5$。
3. 建立不等式：增加2位志愿者后，每位最多服务8位老人，即$E \leq 8(x + 2)$。
4. 联立求解：将$E$的表达式代入不等式，解出$x$的范围，再结合实际意义确定$x$的整数解，最终求出$E$的最大值。

破题关键点：

• 注意隐含条件：志愿者人数$x$必须为整数，且增加后的服务总量需恰好覆盖或超过老人总数。

步骤1：设定变量
设原有志愿者人数为$x$，独居老人总数为$E$。

步骤2：建立初始关系
根据第一种情况，每位志愿者服务10位老人，剩余5位老人未被服务，因此：
$E = 10x + 5$

步骤3：建立不等式
增加2位志愿者后，总志愿者人数为$x + 2$，每位最多服务8位老人，此时需满足：
$E \leq 8(x + 2)$

步骤4：联立求解
将$E = 10x + 5$代入不等式：
$10x + 5 \leq 8(x + 2) \\ 10x + 5 \leq 8x + 16 \\ 2x \leq 11 \\ x \leq 5.5$
由于$x$为整数，故$x$的最大值为$5$。

步骤5：计算老人总数
当$x = 5$时，$E = 10 \times 5 + 5 = 55$。
验证增加后的服务总量：$8 \times (5 + 2) = 56 \geq 55$，满足条件。
若$x = 6$，则$E = 65$，但此时服务总量为$8 \times 8 = 64 < 65$，不满足条件。因此最大值为$55$。