题目
下列说法哪个是正确的:A、齐次线性方程组必有非零解B、齐次线性方程组不一定有解C、非齐次线性方程组不一定有解D、非齐次线性方程组有零解
下列说法哪个是正确的:
A、齐次线性方程组必有非零解
B、齐次线性方程组不一定有解
C、非齐次线性方程组不一定有解
D、非齐次线性方程组有零解
题目解答
答案
A选项:当时,齐次线性方程组有唯一零解,错误;
B选项:齐次线性方程组一定有解,当时,有唯一零解,当
时有非零解,错误;
C选项:当时,非齐次线性方程组无解,正确;
D、非齐次线性方程组没有零解,错误。
故答案为:C
解析
步骤 1:齐次线性方程组的解
齐次线性方程组总是有解的,因为零向量总是方程组的一个解。当系数矩阵的秩等于未知数的个数时,齐次线性方程组只有零解;当系数矩阵的秩小于未知数的个数时,齐次线性方程组有非零解。
步骤 2:非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组的解取决于系数矩阵的秩和增广矩阵的秩。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,那么非齐次线性方程组有解;如果系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,那么非齐次线性方程组无解。
步骤 3:分析选项
A选项:当系数矩阵的秩等于未知数的个数时,齐次线性方程组只有零解,因此A选项错误。
B选项:齐次线性方程组总是有解的,因此B选项错误。
C选项:非齐次线性方程组的解取决于系数矩阵的秩和增广矩阵的秩,因此非齐次线性方程组不一定有解,C选项正确。
D选项:非齐次线性方程组没有零解,因此D选项错误。
齐次线性方程组总是有解的,因为零向量总是方程组的一个解。当系数矩阵的秩等于未知数的个数时,齐次线性方程组只有零解;当系数矩阵的秩小于未知数的个数时,齐次线性方程组有非零解。
步骤 2:非齐次线性方程组的解
非齐次线性方程组的解取决于系数矩阵的秩和增广矩阵的秩。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,那么非齐次线性方程组有解;如果系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩,那么非齐次线性方程组无解。
步骤 3:分析选项
A选项:当系数矩阵的秩等于未知数的个数时,齐次线性方程组只有零解,因此A选项错误。
B选项:齐次线性方程组总是有解的,因此B选项错误。
C选项:非齐次线性方程组的解取决于系数矩阵的秩和增广矩阵的秩,因此非齐次线性方程组不一定有解,C选项正确。
D选项:非齐次线性方程组没有零解,因此D选项错误。