lim _(xarrow 2)dfrac (sin (x-2))({x)^2-4}=lim _(xarrow 2)dfrac (sin (x-2))({x)^2-4}=

考查要点：本题主要考查极限的计算方法，特别是利用等价无穷小替换和因式分解简化分式极限的技巧。

解题核心思路：
当分式极限的分子和分母在趋近点处同时趋近于0时，可以考虑以下两种方法：

1. 等价无穷小替换：将分子中的$\sin(x-2)$替换为$x-2$（当$x \rightarrow 2$时，$x-2 \rightarrow 0$，满足$\sin t \sim t$的条件）。
2. 因式分解：将分母$x^2-4$分解为$(x-2)(x+2)$，约分后直接代入计算。

破题关键点：

• 识别分式结构：分母可分解为$(x-2)(x+2)$，分子可替换为$x-2$。
• 约分简化：通过约分消去公共因子$(x-2)$，将复杂分式转化为简单表达式。

步骤1：等价无穷小替换
当$x \rightarrow 2$时，$x-2 \rightarrow 0$，根据等价无穷小关系$\sin t \sim t$（当$t \rightarrow 0$时），可得：
$\sin(x-2) \sim x-2$

步骤2：因式分解分母
将分母$x^2-4$分解为：
$x^2-4 = (x-2)(x+2)$

步骤3：约分简化
将分子和分母中的公共因子$(x-2)$约去：
$\frac{\sin(x-2)}{x^2-4} \sim \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2}$

步骤4：代入计算
当$x \rightarrow 2$时，直接代入$x=2$得：
$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{1}{x+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}$