题目
(5)设E为柱面 ^2+(y)^2=1 被平面 z=0 和 z=3 所截得的第一卦限部分的外侧,则-|||-zdxdy+xdydz +ydzdx= () .-|||-A. (int )_(0)^3dy(int )_(0)^1sqrt (1-{x)^2}dx B. (int )_(0)^3dz(int )_(0)^1sqrt (1-{y)^2}dy-|||-C. (int )_(0)^2pi dtheta (int )_(0)^1sqrt (1-{r)^2}rdr D. (int )_(0)^2pi dtheta (int )_(0)^1cos theta dr
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定积分区域
柱面 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 被平面 z=0 和 z=3 所截得的第一卦限部分的外侧，意味着积分区域在第一卦限，且在z=0到z=3之间。
步骤 2：转换为极坐标
在第一卦限，柱面方程可以转换为极坐标形式，即 $r=1$，其中 $r$ 是极径，$\theta$ 是极角。在第一卦限，$\theta$ 的范围是 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算积分
根据题目，积分形式为 ${\iint }_{2}^{d}{x}_{2}=-15{v}_{2}$，其中 $v_2$ 是体积元素。在极坐标下，体积元素 $dv = r dr d\theta dz$。由于z的范围是0到3，所以积分形式为 $3{\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta {\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{r}^{2}}rdr$。
柱面 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$ 被平面 z=0 和 z=3 所截得的第一卦限部分的外侧，意味着积分区域在第一卦限，且在z=0到z=3之间。
步骤 2：转换为极坐标
在第一卦限，柱面方程可以转换为极坐标形式，即 $r=1$，其中 $r$ 是极径，$\theta$ 是极角。在第一卦限，$\theta$ 的范围是 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$。
步骤 3：计算积分
根据题目，积分形式为 ${\iint }_{2}^{d}{x}_{2}=-15{v}_{2}$，其中 $v_2$ 是体积元素。在极坐标下，体积元素 $dv = r dr d\theta dz$。由于z的范围是0到3，所以积分形式为 $3{\int }_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\theta {\int }_{0}^{1}\sqrt {1-{r}^{2}}rdr$。