269综合题 设函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f((1)/(2))=1，f(1)=2.证明：存在一点xiin(0,1)，使得f'(xi)=(e^xi)/(2f(xi)).

为了证明存在一点 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi) = \frac{e^{\xi}}{2f(\xi)}$，我们首先定义一个辅助函数。令 $g(x) = f(x)^2 e^{-x}$。我们将在区间 $[0,1]$ 上对 $g(x)$ 应用罗尔定理。 首先，我们计算 $g(x)$ 在区间端点的值： \[ g(0) = f(0)^2 e^0 = 1^2 \cdot 1 = 1, \] \[ g(1) = f(1)^2 e^{-1} = 2^2 \cdot \frac{1}{e} = \frac{4}{e}. \] 由于 $g(0) = 1$ 和 $g(1) = \frac{4}{e}$，我们不能直接在 $[0,1]$ 上对 $g(x)$ 应用罗尔定理。但是，我们可以使用 $f\left(\frac{1}{2}\right) = 1$ 的事实。让我们计算 $g\left(\frac{1}{2}\right)$： \[ g\left(\frac{1}{2}\right) = f\left(\frac{1}{2}\right)^2 e^{-\frac{1}{2}} = 1^2 \cdot e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{e}}. \] 现在，我们有 $g(0) = 1$ 和 $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{e}}$。由于 $g(0) \neq g\left(\frac{1}{2}\right)$，我们不能直接在 $[0, \frac{1}{2}]$ 上对 $g(x)$ 应用罗尔定理。但是，我们可以使用 $g\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{1}{\sqrt{e}}$ 和 $g(1) = \frac{4}{e}$。由于 $\frac{1}{\sqrt{e}} \approx 0.6065$ 和 $\frac{4}{e} \approx 1.4715$，存在 $c \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$ 使得 $g(c) = \frac{1}{\sqrt{e}}$。因此，我们可以在 $\left[\frac{1}{2}, c\right]$ 上对 $g(x)$ 应用罗尔定理。 现在，我们计算 $g(x)$ 的导数： \[ g'(x) = \frac{d}{dx} \left( f(x)^2 e^{-x} \right) = 2 f(x) f'(x) e^{-x} - f(x)^2 e^{-x} = f(x) e^{-x} \left( 2 f'(x) - f(x) \right). \] 根据罗尔定理，存在 $\xi \in \left(0, \frac{1}{2}\right)$ 使得 $g'(\xi) = 0$。因此，我们有： \[ f(\xi) e^{-\xi} \left( 2 f'(\xi) - f(\xi) \right) = 0. \] 由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且 $f(0) = f\left(\frac{1}{2}\right) = 1$，$f(\xi) \neq 0$。因此，我们有： \[ 2 f'(\xi) - f(\xi) = 0 \implies f'(\xi) = \frac{f(\xi)}{2}. \] 然而，我们需要 $f'(\xi) = \frac{e^{\xi}}{2 f(\xi)}$。让我们考虑 $h(x) = f(x)^2 - e^x$). 我们计算 $h(x)$ 在区间端点的值: \[ h(0) = f(0)^2 - e^0 = 1 - 1 = 0, \] \[ h(1) = f(1)^2 - e^1 = 4 - e. \] 由于 $h(0) = 0$，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $h(c) = 0$. 因此，我们可以在 $[0, c]$ 上对 $h(x)$ 应用罗尔定理. 现在，我们计算 $h(x)$ 的导数: \[ h'(x) = \frac{d}{dx} \left( f(x)^2 - e^x \right) = 2 f(x) f'(x) - e^x. \] 根据罗尔定理，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $h'(\xi) = 0$. 因此, we have: \[ 2 f(\xi) f'(\xi) - e^{\xi} = 0 \implies f'(\xi) = \frac{e^{\xi}}{2 f(\xi)}. \] 因此，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi) = \frac{e^{\xi}}{2 f(\xi)}$. $\boxed{\xi \in (0,1)}$.