题目
3.若曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y，求这曲线的方程.
3.若曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y，求这曲线的方程.
题目解答
答案
为了找到通过原点并且在点$(x, y)$处的切线斜率等于$2x + y$的曲线的方程，我们需要解一个微分方程。在点$(x, y)$处的切线斜率由导数$\frac{dy}{dx}$给出。因此，我们可以将给定的条件写为：
\[
\frac{dy}{dx} = 2x + y
\]
这是一个一阶线性微分方程。为了解它，我们使用积分因子。一阶线性微分方程的标准形式是：
\[
\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)
\]
在我们的情况下，$P(x) = -1$和$Q(x) = 2x$。积分因子$\mu(x)$由下式给出：
\[
\mu(x) = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x}
\]
我们将微分方程的两边乘以积分因子：
\[
e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = 2x e^{-x}
\]
左边是乘积$y e^{-x}$的导数：
\[
\frac{d}{dx} \left( y e^{-x} \right) = 2x e^{-x}
\]
我们对两边关于$x$进行积分：
\[
y e^{-x} = \int 2x e^{-x} \, dx
\]
为了计算右边的积分，我们使用分部积分法。设$u = 2x$和$dv = e^{-x} \, dx$。那么$du = 2 \, dx$和$v = -e^{-x}$。使用分部积分法的公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们得到：
\[
\int 2x e^{-x} \, dx = 2x (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) 2 \, dx = -2x e^{-x} + 2 \int e^{-x} \, dx = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C = -2(x + 1)e^{-x} + C
\]
因此，我们有：
\[
y e^{-x} = -2(x + 1)e^{-x} + C
\]
我们通过两边乘以$e^x$来解$y$：
\[
y = -2(x + 1) + C e^x = C e^x - 2x - 2
\]
由于曲线通过原点，我们将$x = 0$和$y = 0$代入方程以找到$C$：
\[
0 = C e^0 - 2 \cdot 0 - 2 = C - 2
\]
因此，$C = 2$。将$C = 2$代回方程，我们得到：
\[
y = 2 e^x - 2x - 2
\]
因此，曲线的方程是：
\[
\boxed{y = 2 e^x - 2x - 2}
\]
解析
本题考查一阶线性微分方程的求解，解题思路如下：
- 根据曲线在点$(x,y)$处的切线斜率等于$2x + y$，可得到一阶线性微分方程$\frac{dy}{dx}=2x + y$，将其化为标准形式$\frac{dy}{dx}+P(x)y = Q(x)$，确定$P(x)$和$Q(x)$的值。
- 计算积分因子$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$。
- 用积分因子乘以微分方程两边，使左边成为乘积的导数形式。
- 对等式两边进行积分，计算右边积分时使用分部积分法。
- 解出$y$的表达式，再根据曲线过原点这一条件确定常数$C$的值。
详细解答
- 建立微分方程：
已知曲线在点$(x,y)$处的切线斜率等于$2x + y$，而切线斜率由导数$\frac{dy}{dx}$给出，所以可得微分方程$\frac{dy}{dx}=2x + y$，移项化为一阶线性微分方程的标准形式$\frac{dy}{dx}-y = 2x$，此时$P(x)= -1$，$Q(x)= 2x$。 - 计算积分因子：
根据积分因子公式$\mu(x)=e^{\int P(x)dx}$，可得$\mu(x)=e^{\int -1dx}=e^{-x}$。 - 方程两边同乘积分因子：
将微分方程$\frac{dy}{dx}-y = 2x$两边同时乘以积分因子$e^{-x}$，得到$e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y = 2xe^{-x}$。
根据乘积的求导法则$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$，可知左边$e^{-x}\frac{dy}{dx}-e^{-x}y=\frac{d}{dx}(ye^{-x})$，所以方程变为$\frac{d}{dx}(ye^{-x}) = 2xe^{-x}$。 - 两边积分：
对$\frac{d}{dx}(ye^{-x}) = 2xe^{-x}$两边关于$x$进行积分，可得$ye^{-x}=\int 2xe^{-x}dx$。
使用分部积分法计算$\int 2xe^{-x}dx$，设$u = 2x$，$dv = e^{-x}dx$，则$du = 2dx$，$v = -e^{-x}$。
根据分部积分公式$\int u dv = uv - \int v du$，可得：
$\begin{align*}\int 2xe^{-x}dx&=2x(-e^{-x})-\int (-e^{-x})\cdot 2dx\\&=-2xe^{-x}+2\int e^{-x}dx\\&=-2xe^{-x}+2(-e^{-x})+C\\&=-2(x + 1)e^{-x}+C\end{align*}$
所以$ye^{-x}=-2(x + 1)e^{-x}+C$。 - 解出$y$的表达式：
方程$ye^{-x}=-2(x + 1)e^{-x}+C$两边同时乘以$e^x$，得到$y = -2(x + 1)+Ce^x=Ce^x - 2x - 2$。 - 确定常数$C$的值：
因为曲线通过原点$(0,0)$，将$x = 0$，$y = 0$代入$y = Ce^x - 2x - 2$，可得$0 = Ce^0 - 2\times 0 - 2$，即$0 = C - 2$，解得$C = 2$。 - 得到曲线方程：
将$C = 2$代入$y = Ce^x - 2x - 2$，得到曲线方程为$y = 2e^x - 2x - 2$。