3.若曲线通过原点，并且它在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y，求这曲线的方程.

为了找到通过原点并且在点$(x, y)$处的切线斜率等于$2x + y$的曲线的方程，我们需要解一个微分方程。在点$(x, y)$处的切线斜率由导数$\frac{dy}{dx}$给出。因此，我们可以将给定的条件写为： \[ \frac{dy}{dx} = 2x + y \] 这是一个一阶线性微分方程。为了解它，我们使用积分因子。一阶线性微分方程的标准形式是： \[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \] 在我们的情况下，$P(x) = -1$和$Q(x) = 2x$。积分因子$\mu(x)$由下式给出： \[ \mu(x) = e^{\int -1 \, dx} = e^{-x} \] 我们将微分方程的两边乘以积分因子： \[ e^{-x} \frac{dy}{dx} - e^{-x} y = 2x e^{-x} \] 左边是乘积$y e^{-x}$的导数： \[ \frac{d}{dx} \left( y e^{-x} \right) = 2x e^{-x} \] 我们对两边关于$x$进行积分： \[ y e^{-x} = \int 2x e^{-x} \, dx \] 为了计算右边的积分，我们使用分部积分法。设$u = 2x$和$dv = e^{-x} \, dx$。那么$du = 2 \, dx$和$v = -e^{-x}$。使用分部积分法的公式$\int u \, dv = uv - \int v \, du$，我们得到： \[ \int 2x e^{-x} \, dx = 2x (-e^{-x}) - \int (-e^{-x}) 2 \, dx = -2x e^{-x} + 2 \int e^{-x} \, dx = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C = -2(x + 1)e^{-x} + C \] 因此，我们有： \[ y e^{-x} = -2(x + 1)e^{-x} + C \] 我们通过两边乘以$e^x$来解$y$： \[ y = -2(x + 1) + C e^x = C e^x - 2x - 2 \] 由于曲线通过原点，我们将$x = 0$和$y = 0$代入方程以找到$C$： \[ 0 = C e^0 - 2 \cdot 0 - 2 = C - 2 \] 因此，$C = 2$。将$C = 2$代回方程，我们得到： \[ y = 2 e^x - 2x - 2 \] 因此，曲线的方程是： \[ \boxed{y = 2 e^x - 2x - 2} \]