求反函数=arccos (2x-1)

考查要点：本题主要考查反三角函数的反函数求法，涉及反余弦函数的定义域与值域，以及反函数求解的基本步骤。

解题核心思路：

1. 利用反函数的定义，将原函数表达式中的$x$和$y$互换，并解出新的$y$表达式。
2. 注意反余弦函数的值域，确定反函数的定义域。
3. 关键步骤是对方程两边取余弦，消去反余弦函数，从而解出$x$关于$y$的表达式。

破题关键点：

• 原函数的定义域：由$2x-1$的取值范围决定，即$-1 \leq 2x-1 \leq 1$，解得$x \in [0,1]$。
• 原函数的值域：反余弦函数$\arccos$的值域为$[0, \pi]$，因此反函数的定义域为$[0, \pi]$。

1. 原函数变形：
   设原函数为$y = \arccos(2x - 1)$，对两边取余弦得：
   $\cos y = 2x - 1$

2. 解出$x$：
   将方程整理为：
   $x = \frac{1 + \cos y}{2}$

3. 交换变量：
   根据反函数的定义，交换$x$和$y$，得到反函数表达式：
   $y = \frac{1 + \cos x}{2}$

4. 确定定义域：
   原函数的值域为$[0, \pi]$，因此反函数的定义域为$x \in [0, \pi]$，值域为$[0, 1]$。