题目

10.(填空题，4.0分)设袋中装有10个球，其中有6个白球4个黑球，任取2个球，第2个是黑球的概率为____。此题答案为小数形式，如m.n第1空

10.(填空题，4.0分) 设袋中装有10个球，其中有6个白球4个黑球，任取2个球，第2个是黑球的概率为____。此题答案为小数形式，如m.n 第1空

题目解答

答案

设袋中装有10个球，其中6个白球、4个黑球。连续取2个球（不放回），求第2个球是黑球的概率。
根据全概率公式，设事件 $ A_1 $ 为“第1个球是白球”，$ A_2 $ 为“第1个球是黑球”，$ B $ 为“第2个球是黑球”。
则：
$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)$
其中：

  • $ P(A_1) = \frac{6}{10} = 0.6 $，$ P(A_2) = \frac{4}{10} = 0.4 $；
  • $ P(B|A_1) = \frac{4}{9} $，$ P(B|A_2) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3} $。
    代入得：
    $P(B) = \frac{4}{9} \times 0.6 + \frac{1}{3} \times 0.4 = \frac{4}{15} + \frac{2}{15} = \frac{6}{15} = 0.4$
    答案： 0.4

解析

本题考查全概率公式的应用。解题思路是将“第2个球是黑球”这一事件，按照“第1个球是白球”和“第1个球是黑球”这两种互斥情况进行分类，然后利用全概率公式计算其概率。

设事件$A_1$为“第1个球是白球”，$A_2$为“第1个球是黑球”，$B$为“第2个球是黑球”。

  1. 计算$P(A_1)$和$P(A_2)$：
    • 从$10$个球中取$1$个白球的概率$P(A_1)$，根据古典概型概率公式$P(A)=\frac{m}{n}$（其中$m$是$A$包含的基本事件个数，$n$是基本事件总数），可得$P(A_1)=\frac{6}{10} = 0.6$。
    • 从$10$个球中取$1$个黑球的概率$P(A_2)$，同理可得$P(A_2)=\frac{4}{10} = 0.4$。
  2. 计算$P(B|A_1)$和$P(B|A_2)$：
    • $P(B|A_1)$表示在第1个球是白球的条件下，第2个球是黑球的概率。此时袋中还剩$9$个球，其中黑球有$4$个，所以$P(B|A_1)=\frac{4}{9}$。
    • $P(B|A_2)$表示在第1个球是黑球的条件下，第2个球是黑球的概率。此时袋中还剩$9$个球，其中黑球有$3$个，所以$P(B|A_2)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
  3. 根据全概率公式$P(B) = P(B|A_1)P(A_1) + P(B|A_2)P(A_2)$计算$P(B)$：
    将$P(A_1)=0.6$，$P(A_2)=0.4$，$P(B|A_1)=\frac{4}{9}$，$P(B|A_2)=\frac{1}{3}$代入全概率公式可得：
    $\begin{align*}P(B)&=\frac{4}{9} \times 0.6 + \frac{1}{3} \times 0.4\\&=\frac{4}{9} \times \frac{6}{10} + \frac{1}{3} \times \frac{4}{10}\\&=\frac{24}{90} + \frac{12}{90}\\&=\frac{36}{90}\\&= 0.4\end{align*}$