【题目】求微分方程 y''-3y'+2y=2xe^x 的通解

考查要点：本题主要考查二阶线性非齐次微分方程的解法，包括齐次方程通解的求解和非齐次方程特解的构造与求解。

解题核心思路：

1. 齐次方程通解：通过特征方程法求解对应的齐次方程，得到通解形式。
2. 特解构造：根据非齐次项形式（$2xe^x$），判断其与齐次方程特征根的关系，确定特解形式。
3. 待定系数法：将特解代入原方程，解出待定系数，最终得到通解。

破题关键点：

• 特征方程的解：正确求解特征方程，确定齐次解的形式。
• 特解形式的选择：非齐次项中的指数因子$e^x$对应特征根$\lambda=1$（单根），需乘以$x$的一次方构造特解。
• 待定系数求解：通过代入方程并比较系数，确定特解中的未知参数。

1. 求齐次方程的通解

对应齐次方程为 $y'' - 3y' + 2y = 0$，其特征方程为：
$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$
解得特征根 $\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 2$，因此齐次方程的通解为：
$y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x}$

2. 求非齐次方程的特解

非齐次项为 $2xe^x$，其中 $e^x$ 对应特征根 $\lambda=1$（单根），故设特解形式为：
$y^* = x(ax + b)e^x$

代入原方程：

1. 计算 $y^*$ 的一阶、二阶导数：
   $\begin{aligned} y^* &= x(ax + b)e^x, \\ y'^* &= [a x^2 + (2a + b)x + b]e^x, \\ y''^* &= [a x^2 + (4a + b)x + (2a + 2b)]e^x. \end{aligned}$

2. 代入方程 $y'' - 3y' + 2y = 2xe^x$，整理后比较系数：
   $(-2a x + 2a - b)e^x = 2x e^x$
   解得 $a = -1$，$b = -2$，因此特解为：
   $y^* = x(-x - 2)e^x$

3. 写出通解

通解为齐次解与特解之和：
$y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + x(-x - 2)e^x$