求垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程．

考查要点：本题主要考查直线垂直的斜率关系、导数的几何意义（切线斜率）以及切线方程的求解方法。

解题核心思路：

1. 确定垂直直线的斜率：已知直线斜率为$k$，则与其垂直的直线斜率为$-1/k$。
2. 求曲线的导数：导数在某点的值即为该点处切线的斜率。
3. 联立方程求切点：令导数等于垂直直线的斜率，解方程得到切点横坐标，代入原曲线方程求纵坐标。
4. 写切线方程：利用点斜式方程，代入切点坐标和斜率。

破题关键点：

• 正确计算垂直斜率：注意负倒数关系。
• 准确求导并解方程：确保导数计算无误，解二次方程时注意判别式。
• 代入求坐标时避免计算错误：代数运算需仔细。

步骤1：求已知直线的斜率

已知直线方程为$2x - 6y + 1 = 0$，变形为斜截式：
$y = \frac{1}{3}x + \frac{1}{6}$
因此，原直线的斜率为$k = \frac{1}{3}$。

步骤2：确定垂直直线的斜率

与原直线垂直的直线斜率为：
$k_1 = -\frac{1}{k} = -3$

步骤3：求曲线的导数

曲线方程为$y = x^3 + 3x^2 - 5$，求导得：
$y' = 3x^2 + 6x$

步骤4：联立方程求切点横坐标

令导数等于$k_1 = -3$：
$3x^2 + 6x = -3 \implies x^2 + 2x + 1 = 0 \implies (x + 1)^2 = 0 \implies x = -1$

步骤5：求切点纵坐标

将$x = -1$代入原曲线方程：
$y = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 5 = -1 + 3 - 5 = -3$
因此，切点为$(-1, -3)$。

步骤6：写切线方程

用点斜式方程：
$y - (-3) = -3(x - (-1)) \implies y + 3 = -3(x + 1)$
整理为标准形式：
$3x + y + 6 = 0$