题目
求垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程．
求垂直于直线2x-6y+1=0且与曲线y=x3+3x2-5相切的直线方程．
题目解答
答案
由于直线2x-6y+1=0的斜率k=[*]，与其垂直的直线的斜率k1=[*]=-3． 对于y=x3+3x25，y’=3x2+6x． 由题意应有3x2+6x=-3，因此 x2+2x+1=0， x=-1，此时y=(-1)3+3(-1)2-5=-3．即切点为(-1，-3)． 切线方程为y+3=-3(x+1)，或写为3x+y+6=0．
解析
步骤 1：确定垂直直线的斜率
给定直线2x-6y+1=0的斜率k=2/6=1/3，因此垂直于这条直线的斜率k1=-3（因为垂直直线的斜率互为负倒数）。
步骤 2：求曲线的导数
对于曲线y=x^3+3x^2-5，求导得到y'=3x^2+6x。
步骤 3：确定切点
由题意，曲线在切点处的斜率等于-3，因此有3x^2+6x=-3。解这个方程得到x^2+2x+1=0，即(x+1)^2=0，解得x=-1。将x=-1代入曲线方程得到y=(-1)^3+3(-1)^2-5=-3。因此切点为(-1,-3)。
步骤 4：求切线方程
已知切点(-1,-3)和斜率-3，使用点斜式方程y-y1=m(x-x1)得到切线方程y+3=-3(x+1)，化简得到3x+y+6=0。
给定直线2x-6y+1=0的斜率k=2/6=1/3，因此垂直于这条直线的斜率k1=-3（因为垂直直线的斜率互为负倒数）。
步骤 2：求曲线的导数
对于曲线y=x^3+3x^2-5，求导得到y'=3x^2+6x。
步骤 3：确定切点
由题意，曲线在切点处的斜率等于-3，因此有3x^2+6x=-3。解这个方程得到x^2+2x+1=0，即(x+1)^2=0，解得x=-1。将x=-1代入曲线方程得到y=(-1)^3+3(-1)^2-5=-3。因此切点为(-1,-3)。
步骤 4：求切线方程
已知切点(-1,-3)和斜率-3，使用点斜式方程y-y1=m(x-x1)得到切线方程y+3=-3(x+1)，化简得到3x+y+6=0。