题目
计算题（共2题，50.0分）9.(25.0分)已知函数z=sin(x^2+y)+ye^2x，求全微分dz.
计算题（共2题，50.0分）
9.(25.0分)
已知函数$z=\sin(x^{2}+y)+ye^{2x}$，求全微分dz.
题目解答
答案
计算函数 $ z = \sin(x^2 + y) + ye^{2x} $ 的全微分 $ dz $：
1. **求偏导数**
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x \cos(x^2 + y) + 2ye^{2x}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \cos(x^2 + y) + e^{2x}
\]
2. **全微分公式**
\[
dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy
\]
3. **代入偏导数**
\[
dz = [2x \cos(x^2 + y) + 2ye^{2x}] dx + [\cos(x^2 + y) + e^{2x}] dy
\]
**答案：**
\[
\boxed{[2x \cos(x^2 + y) + 2ye^{2x}] dx + [\cos(x^2 + y) + e^{2x}] dy}
\]
解析
步骤 1：求偏导数
首先，我们需要计算函数 $z = \sin(x^2 + y) + ye^{2x}$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
- 对于 $x$ 的偏导数，我们有：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sin(x^2 + y) + \frac{\partial}{\partial x} ye^{2x} \]
\[ = 2x \cos(x^2 + y) + 2ye^{2x} \]
- 对于 $y$ 的偏导数，我们有：
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sin(x^2 + y) + \frac{\partial}{\partial y} ye^{2x} \]
\[ = \cos(x^2 + y) + e^{2x} \]
步骤 2：全微分公式
全微分 $dz$ 可以通过偏导数和微分 $dx$ 和 $dy$ 的线性组合来表示：
\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]
步骤 3：代入偏导数
将步骤 1 中计算的偏导数代入全微分公式中，得到：
\[ dz = [2x \cos(x^2 + y) + 2ye^{2x}] dx + [\cos(x^2 + y) + e^{2x}] dy \]
首先，我们需要计算函数 $z = \sin(x^2 + y) + ye^{2x}$ 关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数。
- 对于 $x$ 的偏导数，我们有：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \sin(x^2 + y) + \frac{\partial}{\partial x} ye^{2x} \]
\[ = 2x \cos(x^2 + y) + 2ye^{2x} \]
- 对于 $y$ 的偏导数，我们有：
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \sin(x^2 + y) + \frac{\partial}{\partial y} ye^{2x} \]
\[ = \cos(x^2 + y) + e^{2x} \]
步骤 2：全微分公式
全微分 $dz$ 可以通过偏导数和微分 $dx$ 和 $dy$ 的线性组合来表示：
\[ dz = \frac{\partial z}{\partial x} dx + \frac{\partial z}{\partial y} dy \]
步骤 3：代入偏导数
将步骤 1 中计算的偏导数代入全微分公式中，得到：
\[ dz = [2x \cos(x^2 + y) + 2ye^{2x}] dx + [\cos(x^2 + y) + e^{2x}] dy \]