题目
15.求曲线 =dfrac ({e)^x}(1+x) 的单调区间和极值.
题目解答
答案
解析
步骤 1：求导数
首先，我们需要求出函数 $y=\dfrac {{e}^{x}}{1+x}$ 的导数。使用商的求导法则，我们得到：
$$
y' = \frac{(1+x)e^x - e^x}{(1+x)^2} = \frac{xe^x}{(1+x)^2}
$$
步骤 2：确定导数的符号
为了确定函数的单调区间，我们需要分析导数 $y'$ 的符号。由于 $e^x$ 总是正的，导数的符号取决于分子 $xe^x$ 和分母 $(1+x)^2$ 的符号。分母 $(1+x)^2$ 总是正的，因此导数的符号取决于 $x$ 的符号。
步骤 3：确定单调区间和极值
- 当 $x > 0$ 时，$y' > 0$，函数单调递增。
- 当 $x < -1$ 时，$y' < 0$，函数单调递减。
- 当 $-1 < x < 0$ 时，$y' < 0$，函数单调递减。
- 当 $x = 0$ 时，$y' = 0$，函数在 $x = 0$ 处取得极小值。
首先，我们需要求出函数 $y=\dfrac {{e}^{x}}{1+x}$ 的导数。使用商的求导法则，我们得到：
$$
y' = \frac{(1+x)e^x - e^x}{(1+x)^2} = \frac{xe^x}{(1+x)^2}
$$
步骤 2：确定导数的符号
为了确定函数的单调区间，我们需要分析导数 $y'$ 的符号。由于 $e^x$ 总是正的，导数的符号取决于分子 $xe^x$ 和分母 $(1+x)^2$ 的符号。分母 $(1+x)^2$ 总是正的，因此导数的符号取决于 $x$ 的符号。
步骤 3：确定单调区间和极值
- 当 $x > 0$ 时，$y' > 0$，函数单调递增。
- 当 $x < -1$ 时，$y' < 0$，函数单调递减。
- 当 $-1 < x < 0$ 时，$y' < 0$，函数单调递减。
- 当 $x = 0$ 时，$y' = 0$，函数在 $x = 0$ 处取得极小值。