1.[判断题]若(f_(x),f_(y))|_((a,b)).=0，则f(x,y)在点(a,b)有极值.A. 对B. 错

考查要点：本题主要考查多元函数极值存在的必要条件与充分条件的区别，以及临界点与极值点的关系。

解题核心思路：

1. 必要条件：函数在极值点处偏导数为零（即临界点），但临界点不一定是极值点。

2. 充分条件：需通过二阶偏导数（黑塞矩阵）进一步判断临界点的性质（极大值、极小值或鞍点）。

3. 关键结论：仅凭一阶偏导数为零，无法确定该点有极值。

4. 临界点的定义：
   若 $\left(f_{x}, f_{y}\right)\left|_{(a,b)}\right. = 0$，则 $(a,b)$ 是函数 $f(x,y)$ 的临界点。
   但临界点不一定是极值点，例如鞍点处偏导数也为零，但该点不是极值点。

5. 极值的充分条件：
   需计算黑塞矩阵的行列式 $D = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$：

   • 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$，则 $(a,b)$ 是极小值点；
   • 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$，则 $(a,b)$ 是极大值点；
   • 若 $D < 0$，则 $(a,b)$ 是鞍点；
   • 若 $D = 0$，则无法判断。

6. 结论：
   题目中仅给出一阶偏导数为零，未提供二阶偏导数的信息，因此无法确定 $(a,b)$ 是否为极值点。
   存在反例：例如函数 $f(x,y) = x^2 - y^2$ 在 $(0,0)$ 处偏导数为零，但该点是鞍点而非极值点。