题目

【例1】将函数f(x)=(1)/(3-x)展开成x的幂级数.

【例1】将函数$f(x)=\frac{1}{3-x}$展开成x的幂级数.

题目解答

答案

将函数 $ f(x) = \frac{1}{3-x} $ 展开为 $ x $ 的幂级数，可将其改写为：
$f(x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x}{3}}$
利用几何级数公式 $ \frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^\infty u^n $（其中 $ |u| < 1 $），令 $ u = \frac{x}{3} $，得：
$f(x) = \frac{1}{3} \sum_{n=0}^\infty \left( \frac{x}{3} \right)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{3^{n+1}}$
该级数在 $ \left| \frac{x}{3} \right| < 1 $，即 $ |x| < 3 $ 时收敛。

答案：
幂级数展开式为：$\boxed{\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{3^{n+1}}}$，收敛范围为：$\boxed{(-3, 3)}$。

解析

本题考查函数展开成幂级数的知识，解题思路是利用已知的几何级数公式将给定函数转化为可展开的形式，进而得到幂级数展开式，并确定其收敛范围。

  1. 函数变形：
    为了利用几何级数公式$\frac{1}{1 - u}=\sum_{n = 0}^{\infty}u^{n}$（$\vert u\vert\lt1$），对函数$f(x)=\frac{1}{3 - x}$进行变形。
    给分子分母同时除以$3$，可得$f(x)=\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{1-\frac{x}{3}}$。
  2. 利用几何级数公式展开：
    令$u = \frac{x}{3}$，因为$\vert u\vert\lt1$，将$u = \frac{x}{3}$代入几何级数公式$\frac{1}{1 - u}=\sum_{n = 0}^{\infty}u^{n}$，则$\frac{1}{1-\frac{x}{3}}=\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{x}{3})^{n}$。
    所以$f(x)=\frac{1}{3}\sum_{n = 0}^{\infty}(\frac{x}{3})^{n}$。
    根据幂的运算法则$(ab)^n=a^nb^n$，$(\frac{x}{3})^{n}=\frac{x^{n}}{3^{n}}$，则$f(x)=\frac{1}{3}\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{n}}{3^{n}}$。
    再根据乘法运算法则$\frac{1}{3}\cdot\frac{x^{n}}{3^{n}}=\frac{x^{n}}{3^{n + 1}}$，所以$f(x)=\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^{n}}{3^{n + 1}}$。
  3. 确定收敛范围：
    由于使用几何级数公式的条件是$\vert u\vert\lt1$，这里$u=\frac{x}{3}$，则$\vert\frac{x}{3}\vert\lt1$。
    不等式两边同时乘以$3$，得到$\vert x\vert\lt3$，即$-3\lt x\lt3$，所以收敛范围是$(-3,3)$。