题目

计算lim _(x arrow+infty)[(x^x+1)/((1+x)^x)-(x)/(e)].

计算$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{x^{x+1}}{(1+x)^{x}}-\frac{x}{e}\right]$.

题目解答

答案

我们要求极限：

$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^{x+1}}{(1+x)^x} - \frac{x}{e} \right]$

第一步：化简表达式

我们先看第一项：
$\frac{x^{x+1}}{(1+x)^x} = x \cdot \frac{x^x}{(1+x)^x} = x \left( \frac{x}{1+x} \right)^x$

注意到：
$\frac{x}{1+x} = \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-1}$

所以：
$\left( \frac{x}{1+x} \right)^x = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x}$

因此原式变为：
$x \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x}$

于是原极限变成：
$\lim_{x \to +\infty} \left[ x \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} - \frac{x}{e} \right]$

第二步：利用已知极限

我们知道：
$\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e \quad \Rightarrow \quad \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} = \frac{1}{e}$

所以 $ x \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} \to \frac{x}{e} $，但这是“渐近相等”，我们要求的是它们的差的极限。

所以我们考虑展开 $ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} $ 的渐近展开，以更精确地逼近。

第三步：对 $ \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} $ 进行渐近展开

我们取对数：
$\ln \left( \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} \right) = -x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right)$

利用泰勒展开：
$\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{4} + \cdots, \quad |u| < 1$

令 $ u = \frac{1}{x} $，则：
$\ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{4x^4} + \cdots$

乘以 $ -x $：
$-x \ln\left(1 + \frac{1}{x}\right) = -x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots \right) = -1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + \frac{1}{4x^3} - \cdots$

所以：
$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} = \exp\left( -1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + \cdots \right) = e^{-1} \cdot \exp\left( \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + \cdots \right)$

对指数函数展开：
$\exp\left( \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + \cdots \right) = 1 + \left( \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2x} \right)^2 + o\left( \frac{1}{x^2} \right)$

计算：
$= 1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4x^2} + o\left( \frac{1}{x^2} \right) = 1 + \frac{1}{2x} + \left( -\frac{1}{3} + \frac{1}{8} \right)\frac{1}{x^2} + o\left( \frac{1}{x^2} \right)$

$= 1 + \frac{1}{2x} - \frac{5}{24x^2} + o\left( \frac{1}{x^2} \right)$

所以：
$\left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} = \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{1}{2x} - \frac{5}{24x^2} + o\left( \frac{1}{x^2} \right) \right)$

乘以 $ x $：
$x \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} = \frac{x}{e} \left( 1 + \frac{1}{2x} - \frac{5}{24x^2} + o\left( \frac{1}{x^2} \right) \right) = \frac{x}{e} + \frac{1}{2e} - \frac{5}{24e x} + o\left( \frac{1}{x} \right)$

第四步：代入原式

原式为：
$x \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{-x} - \frac{x}{e} = \left( \frac{x}{e} + \frac{1}{2e} - \frac{5}{24e x} + o\left( \frac{1}{x} \right) \right) - \frac{x}{e} = \frac{1}{2e} - \frac{5}{24e x} + o\left( \frac{1}{x} \right)$

当 $ x \to +\infty $ 时，后面两项趋于 0，所以极限为：
$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^{x+1}}{(1+x)^x} - \frac{x}{e} \right] = \frac{1}{2e}$

✅ 最终答案：

$\boxed{\frac{1}{2e}}$

解析

本题考察的知识是极限的计算，解题思路是先对原式进行化简，然后利用已知极限进行初步分析，由于初步分析不能得到最终结果，所以需要对相关部分进行渐近展开，最后代入原式求出极限。

  1. 化简表达式：
    对于$\frac{x^{x + 1}}{(1 + x)^x}$，我们可以将其变形为$x\cdot\frac{x^x}{(1 + x)^x}=x\left(\frac{x}{1 + x}\right)^x$。
    又因为$\frac{x}{1 + x}=\frac{1}{1+\frac{1}{x}}=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-1}$，所以$\left(\frac{x}{1 + x}\right)^x=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}$，那么原式就变为$x\left(1+\frac{x}\right)^{-x}$，原极限就变成$\lim_{x \to +\infty} \left[ x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x} - \frac{x}{e} \right]$。
  2. 利用已知极限：
    我们知道$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^x = e$，根据这个已知极限可以推出$\lim_{x \to \infty} \left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x} = \frac{1}{e}$，所以$x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}\趋于\(\frac{x}{e}$，但这是“渐近相等”，我们要求的是它们的差的极限，所以需要对$\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}$进行渐近展开。
  3. 对$\left(1+\frac{x}\right)^{-x}$进行渐近展开：
    我们先取对数$\ln \left( \left(1+\frac{x}\right)^{-x} \right) = -x \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$。
    利用泰勒展开$\ln(1 + u) = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \frac{u^4}{} + \cdots, \quad |u| < 1$，令$u = \frac{1x$，则$\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{x}^2 + \frac{1}{3x^3} - \cdots$。
    乘以$-x$得到\(-1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + \cdots)。 所以$\(1+\frac{1}{x}$)^{-x} = $\exp\left( -1 + \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + \cdots \right) = e^{-1} \cdot \exp\left( \frac{1}{2x} - \frac{1}{3x^2} + \cdots \right)$。
    对指数函数展开$\exp\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x} = \frac{1}{e} \left( 1 + \frac{12x - \frac{5}{24x^2} + o\left( \frac{1}{x^2} \right) \right)$。
    乘以$x$得到$x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x} = \frac{x}{e} \left( 1 + \frac{1}{2x} - \frac{5}{24x^2} + o\left( \frac{1}{x^2} \right) \right) = \frac{x}{e} + \frac{1}{2e} - \frac{5}{24e x} + o\left( \frac{1}{x} \right)$。
  4. 代入原式：
    原式为$x\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x} - \frac{x}e = \left( \frac{x}{e} + \frac{1}{2e} - \frac{5}{24e x} + o\left( \frac{1}{x} \right) \right) - \frac{x}{e} = \frac{1}{}{2e} - \frac{5}{24e x} + o\left( \frac{1}{x} \right)$。
    当$x \to +\infty$时，后面两项趋于$0$，所以极限为$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{x^{x + 1}}{(1 + x)^x} - \frac{x}{e} \right] = \frac{1}{2e}$。