题目
e3 设离散型随机变量X的分布律为P(X=k)=blambda^k(k=1,2,...)，且b>0，则lambda=____.
e3 设离散型随机变量X的分布律为$P(X=k)=b\lambda^{k}(k=1,2,\cdots)$，且b>0，则$\lambda=$____.
题目解答
答案
根据概率分布的性质，所有概率之和等于1。因此，有：
\[
\sum_{k=1}^\infty P(X=k) = \sum_{k=1}^\infty b\lambda^k = b \sum_{k=1}^\infty \lambda^k = 1
\]
等比级数求和公式为：
\[
\sum_{k=1}^\infty \lambda^k = \frac{\lambda}{1-\lambda} \quad (\text{当 } |\lambda| < 1)
\]
代入得：
\[
b \cdot \frac{\lambda}{1-\lambda} = 1 \implies \frac{\lambda}{1-\lambda} = \frac{1}{b} \implies \lambda = \frac{1}{b+1}
\]
由于 $b > 0$，满足 $0 < \lambda < 1$，级数收敛。
**答案：** $\boxed{\frac{1}{1+b}}$
解析
步骤 1：确定概率分布的性质
根据概率分布的性质，所有概率之和等于1。因此，有： \[ \sum_{k=1}^\infty P(X=k) = \sum_{k=1}^\infty b\lambda^k = b \sum_{k=1}^\infty \lambda^k = 1 \]
步骤 2：应用等比级数求和公式
等比级数求和公式为： \[ \sum_{k=1}^\infty \lambda^k = \frac{\lambda}{1-\lambda} \quad (\text{当 } |\lambda| < 1) \] 代入得： \[ b \cdot \frac{\lambda}{1-\lambda} = 1 \implies \frac{\lambda}{1-\lambda} = \frac{1}{b} \implies \lambda = \frac{1}{b+1} \]
步骤 3：验证条件
由于 $b > 0$，满足 $0 < \lambda < 1$，级数收敛。
根据概率分布的性质，所有概率之和等于1。因此，有： \[ \sum_{k=1}^\infty P(X=k) = \sum_{k=1}^\infty b\lambda^k = b \sum_{k=1}^\infty \lambda^k = 1 \]
步骤 2：应用等比级数求和公式
等比级数求和公式为： \[ \sum_{k=1}^\infty \lambda^k = \frac{\lambda}{1-\lambda} \quad (\text{当 } |\lambda| < 1) \] 代入得： \[ b \cdot \frac{\lambda}{1-\lambda} = 1 \implies \frac{\lambda}{1-\lambda} = \frac{1}{b} \implies \lambda = \frac{1}{b+1} \]
步骤 3：验证条件
由于 $b > 0$，满足 $0 < \lambda < 1$，级数收敛。