有三个偏振片叠在一起,已知第一个与第三个的偏振化方向相互垂直。一束光强为 I0 的自然光垂直入射在偏振片上,求第二个偏振片与第一个偏振片的偏振化方向之间的夹角为多大时,该入射光连续通过三个偏振片之后的光强为最大。

考查要点：本题主要考查偏振片的叠加效应及光强变化规律，涉及马吕斯定律的应用，以及三角函数极值的求解。

解题核心思路：

1. 自然光通过第一个偏振片时，光强减半；
2. 第二个偏振片的夹角θ决定透过的光强；
3. 第三个偏振片与第一个垂直，导致第二个与第三个的夹角为$90^\circ - \theta$；
4. 最终光强表达式需通过两次马吕斯定律推导，并通过求导或三角恒等式找到最大值条件。

破题关键点：

• 正确应用马吕斯定律，注意各偏振片之间的夹角关系；
• 将光强表达式转化为单一三角函数形式，利用极值条件求解θ。

步骤1：自然光通过第一个偏振片

自然光强度为$I_0$，通过第一个偏振片$P_1$后，光强减半：
$I_1 = \frac{I_0}{2}$

步骤2：通过第二个偏振片$P_2$

设$P_2$与$P_1$的夹角为$\theta$，根据马吕斯定律，透过的光强为：
$I_2 = I_1 \cos^2\theta = \frac{I_0}{2} \cos^2\theta$

步骤3：通过第三个偏振片$P_3$

$P_3$与$P_1$垂直，故$P_2$与$P_3$的夹角为$90^\circ - \theta$。此时透过的光强为：
$I_3 = I_2 \cos^2(90^\circ - \theta) = \frac{I_0}{2} \cos^2\theta \cdot \sin^2\theta$

步骤4：求光强最大值条件

将表达式化简为：
$I_3 = \frac{I_0}{8} \sin^2 2\theta$
当$\sin^2 2\theta$最大时，$I_3$最大。此时：
$2\theta = 90^\circ \quad \Rightarrow \quad \theta = 45^\circ$