题目
设函数 f(x, y) 在有界闭区域 D 上有界，把 D 任意分成 n 个小区域 Delta sigma_i (i=1, 2, ..., n) 在每一个小区域 Delta sigma_i 上任取一点 (xi_i, eta_i)，如果极限 lim_(lambda to 0) sum_(i=1)^n f(xi_i, eta_i)Delta sigma_i 存在，其中 lambda 是(），则称此极限值为函数 f(x, y) 在 D 上的二重积分，记作 iint_(D) f(x, y), dsigma。A. Delta sigma_i (i=1, 2, ..., n) 的最大直径B. Delta sigma_i (i=1, 2, ..., n) 的最小直径C. |xi_i - eta_i|D. xi_i eta_i
设函数 $f(x, y)$ 在有界闭区域 $D$ 上有界，把 $D$ 任意分成 $n$ 个小区域 $\Delta \sigma_i (i=1, 2, \cdots, n)$ 在每一个小区域 $\Delta \sigma_i$ 上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，如果极限 $\lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$ 存在，其中 $\lambda$ 是(），则称此极限值为函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的二重积分，记作 $\iint_{D} f(x, y)\, d\sigma$。
A. $\Delta \sigma_i (i=1, 2, \cdots, n)$ 的最大直径
B. $\Delta \sigma_i (i=1, 2, \cdots, n)$ 的最小直径
C. $|\xi_i - \eta_i|$
D. $\xi_i \eta_i$
题目解答
答案
A. $\Delta \sigma_i (i=1, 2, \cdots, n)$ 的最大直径
解析
步骤 1：理解二重积分的定义
二重积分的定义中，$\lambda$ 表示小区域直径的最大值。当 $\lambda \to 0$ 时，所有小区域的直径均趋近于零，确保分割足够精细。这保证了在每个小区域 $\Delta \sigma_i$ 上函数值 $f(\xi_i, \eta_i)$ 的变化可以忽略不计，从而使得积分和 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$ 趋向于一个确定的值，即二重积分的值。
步骤 2：分析选项
A. $\Delta \sigma_i (i=1, 2, \cdots, n)$ 的最大直径：符合二重积分定义中对 $\lambda$ 的要求，即当 $\lambda \to 0$ 时，所有小区域的直径均趋近于零。
B. $\Delta \sigma_i (i=1, 2, \cdots, n)$ 的最小直径：不符合二重积分定义中对 $\lambda$ 的要求，因为最小直径无法保证分割精细。
C. $|\xi_i - \eta_i|$：与直径无关，不符合二重积分定义中对 $\lambda$ 的要求。
D. $\xi_i \eta_i$：与直径无关，不符合二重积分定义中对 $\lambda$ 的要求。
二重积分的定义中，$\lambda$ 表示小区域直径的最大值。当 $\lambda \to 0$ 时，所有小区域的直径均趋近于零，确保分割足够精细。这保证了在每个小区域 $\Delta \sigma_i$ 上函数值 $f(\xi_i, \eta_i)$ 的变化可以忽略不计，从而使得积分和 $\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i, \eta_i)\Delta \sigma_i$ 趋向于一个确定的值，即二重积分的值。
步骤 2：分析选项
A. $\Delta \sigma_i (i=1, 2, \cdots, n)$ 的最大直径：符合二重积分定义中对 $\lambda$ 的要求，即当 $\lambda \to 0$ 时，所有小区域的直径均趋近于零。
B. $\Delta \sigma_i (i=1, 2, \cdots, n)$ 的最小直径：不符合二重积分定义中对 $\lambda$ 的要求，因为最小直径无法保证分割精细。
C. $|\xi_i - \eta_i|$：与直径无关，不符合二重积分定义中对 $\lambda$ 的要求。
D. $\xi_i \eta_i$：与直径无关，不符合二重积分定义中对 $\lambda$ 的要求。