9.(单选题，5.0分) 设二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为 f(x,y)={}k(x+y)&0≤x≤1,0≤y≤10&其他. ，则常数k的值为( ) A. 3 B. 1 C. 2 D. 4

为了确定常数 $ k $ 的值，我们需要使用联合概率密度函数的性质，即在所有可能的 $ x $ 和 $ y $ 的值上积分，结果必须等于1。联合概率密度函数 $ f(x, y) $ 给定为： \[ f(x, y) = \begin{cases} k(x + y) & \text{如果 } 0 \leq x \leq 1 \text{ 且 } 0 \leq y \leq 1, \\ 0 & \text{其他情况} \end{cases} \] 我们需要在区域 $ 0 \leq x \leq 1 $ 和 $ 0 \leq y \leq 1 $ 上积分 $ f(x, y) $，并将其设置为等于1： \[ \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} k(x + y) \, dy \, dx = 1 \] 首先，我们对 $ y $ 进行积分： \[ \int_{0}^{1} k(x + y) \, dy = k \int_{0}^{1} (x + y) \, dy = k \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} = k \left( x \cdot 1 + \frac{1^2}{2} - (x \cdot 0 + \frac{0^2}{2}) \right) = k \left( x + \frac{1}{2} \right) \] 接下来，我们对 $ x $ 进行积分： \[ \int_{0}^{1} k \left( x + \frac{1}{2} \right) \, dx = k \int_{0}^{1} \left( x + \frac{1}{2} \right) \, dx = k \left[ \frac{x^2}{2} + \frac{x}{2} \right]_{0}^{1} = k \left( \frac{1^2}{2} + \frac{1}{2} - \left( \frac{0^2}{2} + \frac{0}{2} \right) \right) = k \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = k \] 我们将这个结果设置为等于1： \[ k = 1 \] 因此，常数 $ k $ 的值为 $ 1 $。 正确答案是 $\boxed{B}$。