求int dfrac (cos x)(sin x+cos x)dx.

考查要点：本题主要考查分式积分的处理技巧，包括分子分母同除以三角函数简化表达式、变量替换法以及部分分式分解的应用。解题核心在于通过变形将积分转化为更易处理的形式，并利用代数技巧分解分式。

破题关键：

1. 分子分母同除以$\cos x$，将被积函数转化为关于$\tan x$的表达式；
2. 变量替换$t = \tan x$，将积分转化为关于$t$的有理分式积分；
3. 部分分式分解，将复杂分式拆分为简单分式的组合；
4. 积分后化简，利用三角恒等式简化对数项。

步骤1：分子分母同除以$\cos x$

将被积函数变形：
$\frac{\cos x}{\sin x + \cos x} = \frac{1}{1 + \tan x}$

步骤2：变量替换$t = \tan x$

令$t = \tan x$，则$dt = \sec^2 x \, dx = (1 + t^2) dx$，即$dx = \frac{dt}{1 + t^2}$。积分变为：
$\int \frac{1}{1 + t} \cdot \frac{1}{1 + t^2} dt$

步骤3：部分分式分解

将分式$\frac{1}{(1 + t)(1 + t^2)}$分解为：
$\frac{1}{(1 + t)(1 + t^2)} = \frac{A}{1 + t} + \frac{Bt + C}{1 + t^2}$
通过比较系数解得：
$A = \frac{1}{2}, \quad B = -\frac{1}{2}, \quad C = \frac{1}{2}$

步骤4：分项积分

将积分拆分为三部分：
$\begin{aligned}\int \frac{1}{1 + t} \cdot \frac{1}{1 + t^2} dt &= \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + t} dt - \frac{1}{2} \int \frac{t}{1 + t^2} dt + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + t^2} dt \\&= \frac{1}{2} \ln |1 + t| - \frac{1}{4} \ln (1 + t^2) + \frac{1}{2} \arctan t + C\end{aligned}$

步骤5：回代并化简

将$t = \tan x$代回，并利用三角恒等式$1 + \tan^2 x = \sec^2 x$：
$\begin{aligned}\int \frac{\cos x}{\sin x + \cos x} dx &= \frac{1}{2} \ln |\sec x + \tan x| - \frac{1}{2} \ln |\sec x| + \frac{1}{2} x + C \\&= \frac{1}{2} \ln |\sin x + \cos x| + \frac{1}{2} x + C\end{aligned}$