题目

1.11 已知标量函数u=x^2yz，求u在点（2，3，1）处沿指定方向overrightarrow(e_{1)}=e_(x)(3)/(sqrt(50))+e_(y)(4)/(sqrt(50))+e_(z)(5)/(sqrt(50))的方向导数。

1.11 已知标量函数$u=x^{2}yz$，求u在点（2，3，1）处沿指定方向 $\overrightarrow{e_{1}}=e_{x}\frac{3}{\sqrt{50}}+e_{y}\frac{4}{\sqrt{50}}+e_{z}\frac{5}{\sqrt{50}}$的方向导数。

题目解答

答案

1. **计算梯度**： \[ \nabla u = 2xyz e_x + x^2z e_y + x^2y e_z \] 在点 $(2, 3, 1)$ 处， \[ \nabla u = 12 e_x + 4 e_y + 12 e_z \] 2. **计算方向导数**： \[ \nabla u \cdot \overrightarrow{e_1} = 12 \cdot \frac{3}{\sqrt{50}} + 4 \cdot \frac{4}{\sqrt{50}} + 12 \cdot \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{112}{\sqrt{50}} \] **答案**： \[ \boxed{\frac{112}{\sqrt{50}}} \quad \text{或} \quad \boxed{\frac{56\sqrt{2}}{5}} \quad \text{或} \quad \boxed{\frac{56\sqrt{50}}{25}} \]

解析

方向导数的计算核心是梯度向量与单位方向向量的点积。解题步骤分为两步：

求梯度：对函数$u$分别求$x$、$y$、$z$的偏导，组合成梯度向量$\nabla u$；
点积计算：将梯度在指定点代入后，与给定的单位方向向量$\overrightarrow{e_1}$进行点积。

1. 求梯度$\nabla u$

函数$u = x^2 y z$的梯度为：
$\nabla u = \frac{\partial u}{\partial x} e_x + \frac{\partial u}{\partial y} e_y + \frac{\partial u}{\partial z} e_z$

对$x$偏导：$\frac{\partial u}{\partial x} = 2x y z$
对$y$偏导：$\frac{\partial u}{\partial y} = x^2 z$
对$z$偏导：$\frac{\partial u}{\partial z} = x^2 y$

因此，梯度表达式为：
$\nabla u = 2x y z e_x + x^2 z e_y + x^2 y e_z$

2. 代入点$(2, 3, 1)$

将$x=2$，$y=3$，$z=1$代入梯度：

$\frac{\partial u}{\partial x} = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 = 12$
$\frac{\partial u}{\partial y} = 2^2 \cdot 1 = 4$
$\frac{\partial u}{\partial z} = 2^2 \cdot 3 = 12$

因此，梯度为：
$\nabla u = 12 e_x + 4 e_y + 12 e_z$

3. 计算方向导数

方向导数为梯度与单位方向向量$\overrightarrow{e_1}$的点积：
$\overrightarrow{e_1} = \frac{3}{\sqrt{50}} e_x + \frac{4}{\sqrt{50}} e_y + \frac{5}{\sqrt{50}} e_z$
点积计算：
$\begin{aligned}\nabla u \cdot \overrightarrow{e_1} &= 12 \cdot \frac{3}{\sqrt{50}} + 4 \cdot \frac{4}{\sqrt{50}} + 12 \cdot \frac{5}{\sqrt{50}} \\&= \frac{36 + 16 + 60}{\sqrt{50}} \\&= \frac{112}{\sqrt{50}}\end{aligned}$

4. 化简结果（可选）

将分母有理化：
$\frac{112}{\sqrt{50}} = \frac{112 \sqrt{50}}{50} = \frac{56 \sqrt{2}}{5}$