题目

设随机变量X sim t_n，则X^2服从____分布。第1空:F(1,n)

设随机变量$X \sim t_n$，则$X^2$服从____分布。

第1空:
F(1,n)

题目解答

答案

设随机变量 $X \sim t_n$，则 $X$ 可表示为 $X = \frac{Z}{\sqrt{U/n}}$，其中 $Z \sim N(0,1)$，$U \sim \chi^2_n$，且 $Z$ 与 $U$ 独立。
平方后得 $X^2 = \frac{Z^2}{U/n}$。
由于 $Z^2 \sim \chi^2_1$，根据 F 分布的定义，$\frac{Z^2/1}{U/n} \sim F(1, n)$。
因此，$X^2$ 服从自由度为 $(1, n)$ 的 F 分布，即 $X^2 \sim F(1, n)$。

答案： $\boxed{F(1, n)}$

解析

本题考查t分布和F分布的定义及性质，解题的关键在于利用t分布的表达式，通过平方变形，并结合卡方分布和F分布的定义来确定$X^2$的分布。

  1. 首先明确t分布的定义：
    已知随机变量$X \sim t_n$，根据t分布的定义，$X$可表示为$X = \frac{Z}{\sqrt{U/n}}$，其中$Z \sim N(0,1)$（标准正态分布），$U \sim \chi^2_n$（自由度为$n$的卡方分布），并且$Z$与$U$相互独立。
  2. 然后对$X$进行平方运算：
    将$X = \frac{Z}{\sqrt{U/n}}$两边平方，可得$X^2 = \frac{Z^2}{U/n}$。
  3. 接着分析$Z^2$的分布：
    因为$Z \sim N(0,1)$，根据卡方分布的定义，若$Z$服从标准正态分布，则$Z^2$服从自由度为$1$的卡方分布，即$Z^2 \sim \chi^2_1$。
  4. 最后根据F分布的定义确定$X^2$的分布：
    F分布的定义为：若$V_1 \sim \chi^2_{df_1}$，$V_2 \sim \chi^2_{df_2}$，且$V_1$与$V_2$相互独立，则$\frac{V_1/df_1}{V_2/df_2} \sim F(df_1, df_2)$。
    在$X^2 = \frac{Z^2}{U/n}$中，$Z^2 \sim \chi^2_1$，$U \sim \chi^2_n$，且$Z$与$U$独立，所以$Z^2$与$U$也独立，此时$df_1 = 1$，$df_2 = n$，那么$\frac{Z^2/1}{U/n} \sim F(1, n)$，即$X^2 \sim F(1, n)$。