3.设有连结点O (0,0)和A(1,1)的一段向上凸的曲线弧OA,对于OA上任一点-|||-P(x,y),曲线弧OP与直线段OP所围图形的面积为x ^2,求曲线弧OA的方程.

步骤 1：设定曲线方程
假设曲线弧的方程为 \( y = y(x) \)。根据题意，曲线弧OP与直线段OP所围图形的面积为 \( x^2 \)。

步骤 2：建立积分方程
根据题意，有 \(\int_{0}^{x} y(t) dt - \frac{1}{2}xy(x) = x^2\)。这个方程表示曲线弧OP与直线段OP所围图形的面积。

步骤 3：求导
对上述积分方程两边关于 \( x \) 求导，得到 \( y(x) - \frac{1}{2}y(x) - \frac{1}{2}xy'(x) = 2x \)。化简得到 \( \frac{1}{2}y(x) - \frac{1}{2}xy'(x) = 2x \)。

步骤 4：化简微分方程
化简得到 \( y'(x) = \frac{y(x)}{x} - 4 \)。这是一个一阶线性微分方程。

步骤 5：求解微分方程
令 \( u = \frac{y}{x} \)，则 \( \frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx} \)。代入微分方程得到 \( u + x\frac{du}{dx} = u - 4 \)，化简得到 \( x\frac{du}{dx} = -4 \)。积分得到 \( u = -4\ln x + C \)。

步骤 6：求解曲线方程
因为 \( u = \frac{y}{x} \)，所以 \( y = x(-4\ln x + C) \)。因为曲线过点A(1,1)，代入得到 \( 1 = 1(-4\ln 1 + C) \)，解得 \( C = 1 \)。所以曲线方程为 \( y = x(1 - 4\ln x) \)。