已知向量a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,且有r(a_1,a_2,a_3,a_4)=3,r(a_1,a_2,a_3,a_5)=4,则r(a_1,a_2,a_3,a_4+a_5)= ()A. 1B. 3C. 4D. 2

考查要点：本题主要考查向量组的秩与线性相关性的关系，以及向量线性组合对秩的影响。

解题核心思路：

1. 秩的定义：向量组的秩是极大线性无关组所含向量的个数。
2. 关键推论：若向量组 $A$ 的秩为 $r$，则任意向量组 $A$ 中添加一个线性无关的向量后，秩可能增加1；若添加一个线性相关的向量，秩不变。
3. 破题关键：通过已知条件分析 $a_4$ 和 $a_5$ 的线性关系，进而判断 $a_4 + a_5$ 是否能被 $a_1, a_2, a_3$ 线性表示。

条件分析

1. $r(a_1, a_2, a_3, a_4) = 3$：
   说明 $a_1, a_2, a_3$ 线性无关，且 $a_4$ 可被 $a_1, a_2, a_3$ 线性表示，即存在实数 $k_1, k_2, k_3$，使得
   $a_4 = k_1 a_1 + k_2 a_2 + k_3 a_3.$

2. $r(a_1, a_2, a_3, a_5) = 4$：
   说明 $a_1, a_2, a_3, a_5$ 线性无关，因此 $a_5$ 不能被 $a_1, a_2, a_3$ 线性表示。

向量 $a_4 + a_5$ 的性质

将 $a_4 + a_5$ 代入 $a_1, a_2, a_3$ 的线性组合中：
$a_4 + a_5 = (k_1 a_1 + k_2 a_2 + k_3 a_3) + a_5.$
若 $a_4 + a_5$ 能被 $a_1, a_2, a_3$ 线性表示，则存在实数 $c_1, c_2, c_3$，使得
$a_4 + a_5 = c_1 a_1 + c_2 a_2 + c_3 a_3.$
结合 $a_4$ 的表达式，可得：
$a_5 = (c_1 - k_1) a_1 + (c_2 - k_2) a_2 + (c_3 - k_3) a_3.$
这与 $a_5$ 不能被 $a_1, a_2, a_3$ 线性表示矛盾，因此 $a_4 + a_5$ 不能被 $a_1, a_2, a_3$ 线性表示。

结论

向量组 $a_1, a_2, a_3, a_4 + a_5$ 中，$a_1, a_2, a_3$ 线性无关，且 $a_4 + a_5$ 引入新的线性无关性，因此秩为 4。