02)设随机变量ξ的分布律为P(xi=k)=(lambda^k)/(ak!)(lambda>0,k=1,2,3,...),则a=()。A. e^-λB. e^-λ-1C. e^λD. e^λ-1

本题考查离散型型随机变量分布律的性质，解题思路是利用离散型随机变量所有可能取值取值的概率之和为$1$这一性质来求解$a$的值。

已知随机变量$\xi$的分布律为$P(\xi = k)=\frac{\lambda^{k}{ak!}(\lambda\gt0,k = 1,2,3,\cdots)$，根据离散型随机变量分布律的性质$\(\sum_{k}P(\xi = k)=1$)，可得：
$\sum_{k = 1}^{\infty}P(\xi = k)=\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{ak!}=1$
因为$\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=e^{\lambda}$（这是指数函数$e^x$的幂级数展开式，当$x = \lambda$时的情况），那么$\sum_{k = 1}^{\0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=\sum_{k = 0}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}-\frac{\lambda^{0}}{0!}=e^{\lambda}-1$。
所以$\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{ak!}=\frac{1}{a}\sum_{k = 1}^{\infty}\frac{\lambda^{k}}{k!}=\frac{1}{a(e^{\lambda}-1)=1$。
求解$a$，等式两边同时乘以$a$得到$e^{\lambda}-1 = a$，即$a = e^{\lambda}-1$。