习题十三13—1 求各图中点P处磁感应强度的大小和方向。[解] (a) P点在水平导线的延长线上,水平导线在P点不产生磁场。P点到竖直导线两端的连线与电流方向的夹角分别为,。因此,P点的磁感应强度的大小为方向垂直纸面向外。(b) 两条半无限长直导线在P点产生的磁场方向相同,都是垂直于纸面向内,它们在P点产生的磁场的磁感应强度之和为半圆形导线在P点产生的磁场方向也是垂直纸面向内,大小为半径相同、电流相同的圆形导线在圆心处产生的磁感应强度的一半,即方向垂直纸面向内。(c) P点到三角形每条边的距离都是每条边上的电流在P点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内,大小都是故P点总的磁感应强度大小为方向垂直纸面向内。13—2. 有一螺线管长L=20cm,半径r=2.0cm,导线中通有强度为I=5.0A的电流,若在螺线管轴线中点处产生的磁感应强度B=T的磁场,问该螺线管每单位长度应多少匝?[解] 已知载流螺线管轴线上场强公式为13—3 若输电线在地面上空25m处,通以电流A。求这电流在正下方地面处产生的磁感应强度。[解] 已知直线电流的磁场公式13—4 在汽船上,指南针装在距载流导线0.80m处,该导线中电流为20A。(1)将此导线作无限长直导线处理,它在指南针所在处产生的磁感应强度是多大?(2)地磁场的水平分量(向北)为 T。由于电流磁场的影响,指南针的N极指向要偏离正北方向。如果电流的磁场是水平的,而且与地磁场垂直,指南针的指向将偏离多大?求在最坏情况下,上述汽船中的指南针的N极将偏离北方多少度?[解] (1) 电流在指南针所在处的磁感应强度的大小为(2) 如果电流的磁场是水平的而且与地磁场的水平分量垂直(如图a),指南针偏离正北方向的角度为,则 设指南针由于电流磁场偏离正北方向的角度为,由图(b)可知两边微分后可得为求的最大值,令,则有 因此 13—5 在半径为R和r的两圆周之间,有一总匝数为N的均匀密绕平面线圈,通有电流I,方向如图所示。求中心O处的磁感应强度。[解] 取一半径为x厚度为dx的圆环,其等效电流为:方向垂直纸面向外.13—6 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒,设电流I=5.0A,圆筒半径 R=如图所示。求轴线上一点的磁感应强度。[解] 在金属片上对称地取两个宽为的窄条。条上电流为每个窄条是一条无限长载流直导线,在中心轴线上P点产生的dB为和的方向已表示于图中,两者x分量相抵消,y分量相加,总场只有y分量。由这两条导线上电流共同贡献的磁感应强度是∵ ∴13—7 如图所示,长直导线通有电流I,求通过与长直导线共面的矩形面积CDEF的磁通量。[解] 长直导线形成的磁感应强度为:,取如图所示的微元,设顺时针方向为正,则13—8 长直导线与半径为R的均匀导体圆环相切于点a,另一直导线沿半径方向与圆环接于点b,如图所示。现有稳恒电流I从端a流入而从端b流出。(1)求圆环中心点O的B。(2)B沿闭合路径L的环流等于什么?[解] (1)其中: ,故与大小相等,方向相反,所以因而,方向垂直纸面向外.(2)由安培环路定理,有:13—9 矩形截面的螺绕环,尺寸如图所示,均匀密绕共N匝,通以电流I,试证明通过螺绕环截面的磁通量为[证明] 以与螺绕环同心的圆周为环路,其半径为r,,∴13—10 试证明在没有电流的空间区域内,如果磁感应线是一些同方向的平行线,则磁场一定均匀。[证明] 在B线同方向平行的磁场中,作如图的矩形回路abcda,其ab边与B线平行。由于回路中无电流,所以安培环路定理给出又其中及因B⊥dl,所以其值为零。故因为磁感应强度B是垂直于通过单位面积的磁通量即磁通密度,所以B线平行的磁场中,ab线上B处处等于,cd线上B处处等于,因此有又 所以由于矩形回路的位置和宽度不限,此式均可成立。所以,在没有电流的空间区域内,若B线是同方向平行的直线,则磁场一定均匀。13—11 如图所示,空心圆柱无限长导体内外半径分别为a和 b,导体内通有电流I,且电流在横截面上均匀分布,介质的影响可以忽略不计。求证导体内部(a<r<b)各点的磁感应强度由下式给出[解] 作图示的安培环路,有即:13—12 一电磁铁的长直引线构造如下:中间是一直径为5.0cm的铝棒,周围同轴地套以内直径为7.0cm,外直径为9.0cm的铝筒作为电流的回程(筒与棒间充以油类并使之流动以便散热)。若通以电流I=A,且导体的截面上电流分布均匀。试计算从轴心到圆筒外侧的磁场分布(铝和油本身对磁场分布无影响),并画出相应的关系曲线。[解] 取圆筒轴线上一点为圆心,以r为半径的圆周为积分回路L,圆面垂直于轴线。则L上各点的磁感应强度B大小相等。方向沿径向。由安培环路定理得 ∴当0<r<2.5cm时, ∴当2.5cm<r<3.5cm时, ∴当3.5cm<r<4.5cm时, ∴当4.5cm<r时, ∴13—13 厚为2d的无限大导体平板,其内有均匀电流平行于表面流动,电流密度为j,求空间磁感应强度的分布。[解] 建立如图所示的坐标系,对板内,取安培环路abcd,则:对板外,取安培环路,则有:即: 13—14 一根半径为R的长直导体圆柱载有电流I,作一宽为 R长为l的假想平面S,如图所示。若假想平面S可在导体直径和轴所确定的平面内离开轴移动至远处,试求当通过面S的磁通量最大时平面S的位置(设直导线内电流分布是均匀的)。[解] r≤R时: 即r≥R时: 即当假象平面的内边界离轴x时令 (舍)对求二阶导数 <0因此时,有最大值。13—15 电流为的等边三角形载流线圈与无限长直线电流共面,如图所示。求:(1)载流线圈所受到的总的磁场力;(2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点c并垂直于纸面方向的直线为轴)。[解] ab边到长直导线的距离为d,电流在ab边上的磁场为方向垂直纸面向内。此磁场对ab边的作用力为方向沿z轴方向。在bc边上距b端x处取电流元,该处到长直导线的距离为在该处的磁场为方向垂直纸面向内。该电流元受到的磁力方向如图所示。bc边上各电流元所受磁力方向相同,bc边所受磁力即为13—16 试证明:一个任意形状的闭合载流线圈在均匀磁场中所受的总的磁场力恒为零。[证明] 把闭合线圈分成无数个dl,则,因此13—17 在一个圆柱磁铁N极正上方,水平放置一半径为R的导线圆环,如图所示,其中通有顺时针方向(俯视)的电流I。在导线处的磁场B的方向都与竖直方向成角。求导线环受的磁场力。[解] 圆环上每个电流元受力为将分解为z分量和径向分量:,∴ 对于圆环:圆环所受合力为13—18 一圆线圈的半径为R,载有电流I,置于均匀磁场中,如图所示。在不考虑载流线圈本身激发的磁场的情况下,求线圈导线上的张力(已知线圈法线方向与B的方向相同)。