设函数f(x)具有2阶导数，且f'(0)=f'(1)，|f''(x)|leq1。证明：(1) 当xin(0,1)时，|f(x)-f(0)(1-x)-f(1)x|leq(x(1-x))/(2)；(2) |int_(0)^1 f(x) , dx - (f(0)+f(1))/(2)| leq (1)/(12)。

我们来逐步分析并证明这个题目。 --- ## **题目重述** 设函数 $ f(x) $ 有二阶导数，且满足： - $ f'(0) = f'(1) $ - $ |f''(x)| \leq 1 $，对所有 $ x \in [0,1] $ 证明以下两个结论： ### **(1)** 对任意 $ x \in (0,1) $，有： $$ |f(x) - f(0)(1 - x) - f(1)x| \leq \frac{x(1 - x)}{2} $$ ### **(2)** $$ \left| \int_0^1 f(x)\,dx - \frac{f(0) + f(1)}{2} \right| \leq \frac{1}{12} $$ --- ## **解题思路** 我们从第一部分开始，然后用第一部分来推导第二部分。 --- ## **(1) 证明：** 定义一个函数： $$ g(x) = f(x) - f(0)(1 - x) - f(1)x $$ 目标是证明： $$ |g(x)| \leq \frac{x(1 - x)}{2} $$ ### **第一步：分析 $ g(x) $ 的性质** - $ g(0) = f(0) - f(0)(1 - 0) - f(1)\cdot 0 = f(0) - f(0) = 0 $ - $ g(1) = f(1) - f(0)(1 - 1) - f(1)\cdot 1 = f(1) - f(1) = 0 $ 所以 $ g(0) = g(1) = 0 $ 我们来计算 $ g'(x) $： $$ g'(x) = f'(x) + f(0) - f(1) $$ 因为 $ f'(0) = f'(1) $，所以我们可以考虑使用**Taylor展开**或**中值定理**来估计 $ f(x) $ 的误差。 --- ### **第二步：使用泰勒展开估计误差** 设 $ f(x) $ 在 $ x \in [0,1] $ 上具有二阶导数，我们对 $ f(x) $ 在 $ x = 0 $ 和 $ x = 1 $ 处分别做泰勒展开。 #### 在 $ x = 0 $ 处： $$ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(\xi_1)}{2}x^2, \quad \xi_1 \in (0, x) $$ #### 在 $ x = 1 $ 处： $$ f(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(\xi_2)}{2}(x - 1)^2, \quad \xi_2 \in (x, 1) $$ --- ### **第三步：构造插值函数** 考虑一个插值函数 $ p(x) $，满足： - $ p(0) = f(0) $ - $ p(1) = f(1) $ 设 $ p(x) = f(0)(1 - x) + f(1)x $，这就是一个线性插值函数。 那么我们定义误差函数： $$ g(x) = f(x) - p(x) = f(x) - f(0)(1 - x) - f(1)x $$ 我们要估计 $ |g(x)| $。 --- ### **第四步：使用二阶导数估计误差** 考虑函数 $ g(x) $，它满足： - $ g(0) = 0 $ - $ g(1) = 0 $ - $ g''(x) = f''(x) $，因为 $ p(x) $ 是线性函数，其二阶导数为 0 所以： $$ |g''(x)| = |f''(x)| \leq 1 $$ 我们使用**插值误差公式**，对 $ g(x) $ 在 $ x \in (0,1) $ 上估计： $$ |g(x)| \leq \frac{1}{2} \max_{x \in [0,1]} |g''(x)| \cdot x(1 - x) $$ 由于 $ |g''(x)| \leq 1 $，所以： $$ |g(x)| \leq \frac{x(1 - x)}{2} $$ 这就证明了第一部分。 --- ## **(2) 证明：** 我们要证明： $$ \left| \int_0^1 f(x)\,dx - \frac{f(0) + f(1)}{2} \right| \leq \frac{1}{12} $$ 考虑使用**梯形法则误差公式**。 梯形法则的误差公式是： $$ \left| \int_a^b f(x)\,dx - \frac{b - a}{2}(f(a) + f(b)) \right| \leq \frac{(b - a)^3}{12} \max_{x \in [a,b]} |f''(x)| $$ 在本题中，$ a = 0 $, $ b = 1 $, $ \max |f''(x)| \leq 1 $，所以： $$ \left| \int_0^1 f(x)\,dx - \frac{f(0) + f(1)}{2} \right| \leq \frac{1^3}{12} \cdot 1 = \frac{1}{12} $$ 这就证明了第二部分。 --- ## **最终答案** ### **(1)** 对任意 $ x \in (0,1) $，有： $$ \boxed{|f(x) - f(0)(1 - x) - f(1)x| \leq \frac{x(1 - x)}{2}} $$ ### **(2)** $$ \boxed{\left| \int_0^1 f(x)\,dx - \frac{f(0) + f(1)}{2} \right| \leq \frac{1}{12}} $$ --- 如需进一步解释或推导，请告诉我！