题目
求函数y=sqrt(sinx)+(1)/(sqrt(16-(x)^2))的定义域．
求函数y=$\sqrt{sinx}$+$\frac{1}{\sqrt{16-{x}^{2}}}$的定义域．
题目解答
答案
解：要使原函数与应用，则$\left\{\begin{array}{l}{sinx≥0①}\\{16-{x}^{2}＞0②}\end{array}\right.$，
解①得：2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z；
由②得：-4＜x＜4．
取交集得：-4＜x≤-π或0≤x≤π．
∴函数y=$\sqrt{sinx}$+$\frac{1}{\sqrt{16-{x}^{2}}}$的定义域为（-4，-π]∪[0，π]．
解①得：2kπ≤x≤π+2kπ，k∈Z；
由②得：-4＜x＜4．
取交集得：-4＜x≤-π或0≤x≤π．
∴函数y=$\sqrt{sinx}$+$\frac{1}{\sqrt{16-{x}^{2}}}$的定义域为（-4，-π]∪[0，π]．
解析
考查要点：本题主要考查函数定义域的求解，涉及根号内非负性和分母不为零的条件，同时需要结合三角函数的周期性分析解集。
解题核心思路：
- 分部分分析：分别处理两个部分的条件：$\sqrt{\sin x}$要求$\sin x \geq 0$，$\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$要求$16-x^2 > 0$。
- 求交集：将两个部分的解集取交集，注意结合三角函数的周期性，找到在有限区间$(-4,4)$内的有效解。
破题关键点：
- 周期性分析：$\sin x \geq 0$的解集为$[2k\pi, \pi + 2k\pi]$，需结合$x \in (-4,4)$筛选出有效区间。
- 区间端点：注意$x=-4$和$x=4$不满足$16-x^2 > 0$，因此区间为开区间。
步骤1：分析$\sqrt{\sin x}$的条件
要使根号有意义，需$\sin x \geq 0$。
根据三角函数性质，$\sin x \geq 0$的解集为：
$2k\pi \leq x \leq \pi + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$
步骤2：分析$\frac{1}{\sqrt{16-x^2}}$的条件
分母根号内需满足$16 - x^2 > 0$，解得：
$-4 < x < 4$
步骤3：求两个条件的交集
需同时满足$\sin x \geq 0$和$-4 < x < 4$。
- 当$k = 0$时，$\sin x \geq 0$的区间为$[0, \pi]$，与$(-4,4)$的交集为$[0, \pi]$。
- 当$k = -1$时，$\sin x \geq 0$的区间为$[-2\pi, -\pi]$，与$(-4,4)$的交集为$(-4, -\pi]$（因$-2\pi \approx -6.28 < -4$）。
综上，定义域为：
$(-4, -\pi] \cup [0, \pi]$