4.(12分)设有方程组 ) (lambda +3)(x)_(1)+(x)_(2)+2(x)_(3)=lambda lambda (x)_(1)+(lambda -1)(x)_(2)+(x)_(3)=lambda 3(lambda +1)(x)_(1)+lambda (x)_(2)+(lambda +3)(x)_{3 . 讨论当常数λ取何值时方程组-|||-(1)有唯一解;(2)无解;(3)有无穷多解,并求出其通解。

本题考查非齐次线性方程组解的情况讨论，核心思路是通过系数矩阵的行列式判断解的情况：

1. 行列式非零时方程组有唯一解；
2. 行列式为零时，需进一步分析系数矩阵与增广矩阵的秩：
   • 秩不等则无解；
   • 秩相等且小于未知数个数则有无穷多解。

破题关键点：

• 正确计算行列式，确定临界值$\lambda=0,1$；
• 构造增广矩阵并化简，判断秩的变化。

步骤1：计算系数矩阵行列式

系数矩阵$A$为：
$A = \begin{bmatrix}\lambda+3 & 1 & 2 \\\lambda & \lambda-1 & 1 \\3(\lambda+1) & \lambda & \lambda+3\end{bmatrix}$
计算行列式$|A|$：
$\begin{aligned}|A| &= (\lambda+3)\left[(\lambda-1)(\lambda+3) - \lambda\right] - 1\left[\lambda(\lambda+3) - 3(\lambda+1)\right] + 2\left[\lambda \cdot \lambda - 3(\lambda+1)(\lambda-1)\right] \\&= \lambda^2(\lambda-1).\end{aligned}$

步骤2：讨论行列式非零的情况

当$\lambda \neq 0$且$\lambda \neq 1$时，$|A| \neq 0$，方程组有唯一解。

步骤3：讨论$\lambda=0$的情况

此时系数矩阵$A$秩为2，增广矩阵$B$秩为3（通过行变换可验证），秩不等，方程组无解。

步骤4：讨论$\lambda=1$的情况

此时系数矩阵$A$秩为2，增广矩阵$B$秩也为2（秩相等），方程组有无穷多解。通解形式为：
$\mathbf{x} = \mathbf{x_p} + k\mathbf{x_h},$
其中$\mathbf{x_p}$为特解，$\mathbf{x_h}$为齐次方程的基础解系。