5.(单选题,5.0分) 要使函数f(x)=cos x是随机变量X的密度函数,则X的取值区间必须是( )。A. [-(pi)/(2),0]B. [(pi)/(2),pi]C. [0,pi]D. [-(pi)/(4),(pi)/(4)]

本题考查连续型随机变量概率密度函数的性质，解题思路是根据概率密度函数的两个基本性质来逐一分析各个选项。

连续型随机变量的概率密度函数$f(x)$需要满足以下两个性质：

1. $f(x)\geqslant0$，对于任意$x$都成立；
2. $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx = 1$。

下面对每个选项进行分析：

• 选项A：$[-\frac{\pi}{2},0]$
  • 性质1验证：
    在区间$[-\frac{\pi}{2},0]$上，$\cos x\geqslant0$，满足概率密度函数非负的性质。
  • 性质2验证：
    计算$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos xdx$，根据积分公式$\int\cos xdx=\sin x + C$（$C$为常数），可得：
    $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\cos xdx=\left[\sin x\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}=\sin 0 - \sin(-\frac{\pi}{2})=0 - (-1)=1$
    满足概率密度函数在整个取值区间上积分值为$1$的性质。所以选项A符合要求。
• 选项B：$[\frac{\pi}{2},\pi]$
  • 性质1验证：
    在区间$[\frac{\pi}{2},\pi]$上，$\cos x\leqslant0$，不满足概率密度函数非负的性质，所以选项B不符合要求。
• 选项C：$[0,\pi]$
  • 性质1验证：
    在区间$[0,\pi]$上，当$x\in[\frac{\pi}{2},\pi]$时，$\cos x\leqslant0$，不满足概率密度函数非负的性质，所以选项C不符合要求。
• 选项D：$[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]$
  • 性质2验证：
    计算$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos xdx$，根据积分公式$\int\cos xdx=\sin x + C$，可得：
    $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}\cos xdx=\left[\sin x\right]_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}}=\sin\frac{\pi}{4} - \sin(-\frac{\pi}{4})=\frac{\sqrt{2}}{2}-(-\frac{\sqrt{2}}{2})=\sqrt{2}\neq1$
    不满足概率密度函数在整个取值区间上积分值为$1$的性质，所以选项D不符合要求。