学生在做一道有4个选项的单项选择题时，如果他不知道问题的正确答案时，就作随机猜测。假若学生知道正确答案和胡乱猜测的概率都是0.5。求：（1）题目答对了的概率；（2）现从卷面上看题是答对了，求学生确实知道正确答案的概率。

考查要点：本题主要考查全概率公式和贝叶斯公式的应用，涉及条件概率的理解与计算。

解题核心思路：

1. 明确事件定义：将题目中的“知道答案”和“答对”分别定义为事件，建立概率关系。
2. 全概率公式：通过“知道答案”和“不知道答案”两种互斥且穷尽的情况，计算“答对”的总概率。
3. 贝叶斯公式：在已知“答对”的条件下，反推“确实知道答案”的后验概率。

破题关键点：

• 条件概率的拆分：正确拆分事件为“知道答案”和“不知道答案”两种情况。
• 公式选择：第一问用全概率公式求总概率，第二问用贝叶斯公式求后验概率。

（1）题目答对的概率

步骤1：定义事件

• 事件 $B$：学生知道正确答案，$P(B) = 0.5$
• 事件 $\overline{B}$：学生不知道正确答案，$P(\overline{B}) = 0.5$
• 事件 $A$：题目答对

步骤2：确定条件概率

• 若知道答案（$B$），则一定答对：$P(A|B) = 1$
• 若不知道答案（$\overline{B}$），随机猜对的概率为 $\frac{1}{4}$：$P(A|\overline{B}) = 0.25$

步骤3：应用全概率公式
$P(A) = P(B)P(A|B) + P(\overline{B})P(A|\overline{B}) = 0.5 \times 1 + 0.5 \times 0.25 = 0.625$

（2）已答对时知道答案的概率

步骤1：应用贝叶斯公式
$P(B|A) = \frac{P(B)P(A|B)}{P(A)} = \frac{0.5 \times 1}{0.625} = 0.8$