题目
若xi_1, xi_2是齐次方程组AX=0的一个基础解系，则()。A. xi_1, xi_2线性相关B. xi_1 + xi_2, xi_1 - xi_2是AX=0的一个基础解系C. xi_1 + xi_2, xi_1 - xi_2不是AX=0的一个基础解系D. k_1xi_1 + k_2xi_2不是AX=0的解
若$\xi_1, \xi_2$是齐次方程组$AX=0$的一个基础解系，则()。
A. $\xi_1, \xi_2$线性相关
B. $\xi_1 + \xi_2, \xi_1 - \xi_2$是$AX=0$的一个基础解系
C. $\xi_1 + \xi_2, \xi_1 - \xi_2$不是$AX=0$的一个基础解系
D. $k_1\xi_1 + k_2\xi_2$不是$AX=0$的解
题目解答
答案
B. $\xi_1 + \xi_2, \xi_1 - \xi_2$是$AX=0$的一个基础解系
解析
步骤 1：理解基础解系的定义
基础解系是指齐次线性方程组$AX=0$的解空间中的一组线性无关的向量，它们可以生成方程组的所有解。因此，$\xi_1, \xi_2$作为基础解系，它们是线性无关的。
步骤 2：分析选项B
$\xi_1 + \xi_2, \xi_1 - \xi_2$是否是$AX=0$的一个基础解系。首先，由于$\xi_1, \xi_2$是$AX=0$的解，所以$\xi_1 + \xi_2$和$\xi_1 - \xi_2$也是$AX=0$的解。其次，需要验证$\xi_1 + \xi_2, \xi_1 - \xi_2$是否线性无关。假设存在常数$a, b$使得$a(\xi_1 + \xi_2) + b(\xi_1 - \xi_2) = 0$，则$(a+b)\xi_1 + (a-b)\xi_2 = 0$。由于$\xi_1, \xi_2$线性无关，所以$a+b=0$且$a-b=0$，解得$a=b=0$，因此$\xi_1 + \xi_2, \xi_1 - \xi_2$线性无关，是$AX=0$的一个基础解系。
步骤 3：分析选项C
选项C与选项B矛盾，因此是错误的。
步骤 4：分析选项D
$k_1\xi_1 + k_2\xi_2$是$AX=0$的解，因为$\xi_1, \xi_2$是$AX=0$的解，所以它们的线性组合也是$AX=0$的解。因此，选项D是错误的。
基础解系是指齐次线性方程组$AX=0$的解空间中的一组线性无关的向量，它们可以生成方程组的所有解。因此，$\xi_1, \xi_2$作为基础解系，它们是线性无关的。
步骤 2：分析选项B
$\xi_1 + \xi_2, \xi_1 - \xi_2$是否是$AX=0$的一个基础解系。首先，由于$\xi_1, \xi_2$是$AX=0$的解，所以$\xi_1 + \xi_2$和$\xi_1 - \xi_2$也是$AX=0$的解。其次，需要验证$\xi_1 + \xi_2, \xi_1 - \xi_2$是否线性无关。假设存在常数$a, b$使得$a(\xi_1 + \xi_2) + b(\xi_1 - \xi_2) = 0$，则$(a+b)\xi_1 + (a-b)\xi_2 = 0$。由于$\xi_1, \xi_2$线性无关，所以$a+b=0$且$a-b=0$，解得$a=b=0$，因此$\xi_1 + \xi_2, \xi_1 - \xi_2$线性无关，是$AX=0$的一个基础解系。
步骤 3：分析选项C
选项C与选项B矛盾，因此是错误的。
步骤 4：分析选项D
$k_1\xi_1 + k_2\xi_2$是$AX=0$的解，因为$\xi_1, \xi_2$是$AX=0$的解，所以它们的线性组合也是$AX=0$的解。因此，选项D是错误的。