题目
2.求微分方程e^xcos ydx+(1+e^x)sin ydy=0通解.
2.求微分方程$e^{x}\cos ydx+(1+e^{x})\sin ydy=0$通解.
题目解答
答案
将原方程改写为可分离变量形式：
\[
\frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = - \tan y \, dy
\]
两边积分：
\[
\int \frac{e^x}{1 + e^x} \, dx = - \int \tan y \, dy
\]
左端令 $u = 1 + e^x$，得 $\ln |u| = \ln (1 + e^x)$；右端令 $v = \cos y$，得 $\ln |v| = \ln |\cos y|$。故：
\[
\ln (1 + e^x) = \ln |\cos y| + C_1
\]
消去对数：
\[
1 + e^x = C_2 \cos y \quad \text{（其中 $C_2 = e^{C_1}$）}
\]
整理得通解：
\[
\boxed{\cos y = C (1 + e^x)}
\]
其中 $C$ 为任意常数。