题目
如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？A. E B-|||-H F-|||-D G C
如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？
题目解答
答案
设AE=a,EB=b,AB=c=a+b
因正方形EFGH,故EH=EF，∠HEF为直角，故∠AEH+∠BEF=90°，
又因正方形ABCD,故∠B，∠A为直角，∠BEF+∠EFB=90°，
故∠AEH=∠EFB，EH=EF，∠B=∠A=90°，
故Rt△AEH$$\simeq$$Rt△EFB，
故AE=BF=a,对Rt△EFB，根据勾股定理，有EF=$$\sqrt{a^2+b^2}$$,
则正方形EFGH面积为$$a^2+b^2$$,
设$$y=a^2+b^2=a^2+(c-a)^2=2a^2-2ac+c^2$$,
当$$a=\frac{c}{2}$$时，y取到最小值$$\frac{c^2}{2}$$,
故当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小。
解析
考查要点：本题主要考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题。
解题核心思路：通过构造相似三角形，将正方形EFGH的边长转化为关于AE的代数表达式，进而利用二次函数求最小值。
破题关键点：
- 相似三角形的发现：通过角度关系证明△AEH与△EFB相似，从而得到边长比例关系。
- 勾股定理的应用：将正方形EFGH的边长表示为AE和EB的函数。
- 二次函数最值：通过配方或顶点公式求出面积的最小值对应的AE长度。
步骤1：设定变量与基本关系
设正方形ABCD的边长为$c$，点$E$在边$AB$上，满足$AE = a$，$EB = b$，则$a + b = c$。
步骤2：证明相似三角形
- 由正方形EFGH的性质，$\angle HEF = 90^\circ$，故$\angle AEH + \angle BEF = 90^\circ$。
- 由正方形ABCD的性质，$\angle BEF + \angle EFB = 90^\circ$，因此$\angle AEH = \angle EFB$。
- 在$\triangle AEH$和$\triangle EFB$中，$\angle A = \angle B = 90^\circ$，且$\angle AEH = \angle EFB$，故$\triangle AEH \simeq \triangle EFB$。
- 由相似性得$\frac{AE}{EF} = \frac{EF}{EB}$，即$EF^2 = AE \cdot EB$，但实际计算中直接通过勾股定理得出$EF = \sqrt{a^2 + b^2}$。
步骤3：表达面积并求最小值
- 正方形EFGH的面积为$EF^2 = a^2 + b^2$。
- 将$b = c - a$代入，得面积$y = a^2 + (c - a)^2 = 2a^2 - 2ac + c^2$。
- 该二次函数开口向上，顶点在$a = \frac{c}{2}$时取得最小值，此时$y = \frac{c^2}{2}$。