[例3.23]设-|||-in (0,1), 证明-|||-(1) (1+x)(ln )^2(1+x)lt (x)^2;-|||-(2) dfrac (1)(ln 2)-1lt dfrac (1)(ln (1+x))-dfrac (1)(x)lt dfrac (1)(2)

本题主要考查利用函数的单调性和导数来证明不等式。解题的关键思路是通过构造合适的函数，对其求导，分析导数的正负性，从而确定函数的单调性，再结合函数在特定点的值来证明不等式。

（1）证明$(1 + x)\ln^2(1 + x) \lt x^2$

• 构造函数$\varphi(x) = (1 + x)\ln^2(1 + x) - x^2$。
  • 首先求$\varphi(0)$的值：
    将$x = 0$代入$\varphi(x)$可得$\varphi(0)=(1 + 0)\ln^2(1 + 0) - 0^2 = 0$。
  • 然后对$\varphi(x)$求一阶导数$\varphi^\prime(x)$：
    根据求导公式$(uv)^\prime = u^\prime v + uv^\prime$以及$(\ln(1 + x))^\prime=\frac{1}{1 + x}$，$(x^n)^\prime = nx^{n - 1}$，可得：
    $\varphi^\prime(x)=\ln(1 + x)+2\ln(1 + x)-2x = 3\ln(1 + x)-2x$。
    再求$\varphi^\prime(0)$的值：
    将$x = 0$代入$\varphi^\prime(x)$可得$\varphi^\prime(0)=3\ln(1 + 0)-2\times0 = 0$。
  • 接着对$\varphi^\prime(x)$求二阶导数$\varphi^{\prime\prime}(x)$：
    $\varphi^{\prime\prime}(x)=\frac{3}{1 + x}-2=\frac{3 - 2(1 + x)}{1 + x}=\frac{1 - 2x}{1 + x}$。
    又令$\psi(x)=\ln(1 + x)-x$，对$\psi(x)$求导：
    $\psi^\prime(x)=\frac{1}{1 + x}-1=\frac{1-(1 + x)}{1 + x}=-\frac{x}{1 + x}$。
    因为$x\in(0,1)$，所以$\psi^\prime(x)=-\frac{x}{1 + x}\lt 0$，这表明$\psi(x)$在$(0,1)$上单调递减。
    那么当$x\in(0,1)$时，$\psi(x)\lt\psi(0)=\ln(1 + 0)-0 = 0$。
    所以$\varphi^{\prime\prime}(x)=\frac{2}{1 + x}[\ln(1 + x)-x]\lt 0$，这说明$\varphi^\prime(x)$在$(0,1)$上单调递减。
  • 由于$\varphi^\prime(x)$在$(0,1)$上单调递减且$\varphi^\prime(0)=0$，所以当$x\in(0,1)$时，$\varphi^\prime(x)\lt\varphi^\prime(0)=0$，即$\varphi(x)$在$(0,1)$上单调递减。
  • 又因为$\varphi(x)$在$(0,1)$上单调递减且$\varphi(0)=0$，所以当$x\in(0,1)$时，$\varphi(x)\lt\varphi(0)=0$，即$(1 + x)\ln^2(1 + x) \lt x^2$。

（2）证明$\frac{1}{\ln 2}-1\lt\frac{1}{\ln(1 + x)}-\frac{1}{x}\lt\frac{1}{2}$

• 构造函数$f(x)=\frac{1}{\ln(1 + x)}-\frac{1}{x}$，$x\in(0,1]$。
  • 对$f(x)$求导：
    $f^\prime(x)=\frac{-\frac{1}{(1 + x)\ln^2(1 + x)}+\frac{1}{x^2}}{1}=\frac{(1 + x)\ln^2(1 + x)-x^2}{x^2(1 + x)\ln^2(1 + x)}$。
    由（1）可知，当$x\in(0,1)$时，$(1 + x)\ln^2(1 + x) - x^2\lt 0$，且$x^2(1 + x)\ln^2(1 + x)\gt 0$，所以$f^\prime(x)\lt 0$，这表明$f(x)$在$(0,1)$内单调减少。
  • 因为$f(x)$在区间$(0,1]$上连续，且$f(1)=\frac{1}{\ln 2}-1$，所以当$x\in(0,1)$时，$f(x)=\frac{1}{\ln(1 + x)}-\frac{1}{x}\gt f(1)=\frac{1}{\ln 2}-1$。
  • 求$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}f(x)$：
    $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}(\frac{1}{\ln(1 + x)}-\frac{1}{x})=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x - \ln(1 + x)}{x\ln(1 + x)}$。
    当$x\rightarrow 0$时，$\ln(1 + x)\sim x$，则$\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x - \ln(1 + x)}{x\ln(1 + x)}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x - \ln(1 + x)}{x^2}$。
    根据洛必达法则，对分子分母分别求导：
    $\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x - \ln(1 + x)}{x^2}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{1-\frac{1}{1 + x}}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{\frac{1 + x - 1}{1 + x}}{2x}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{x}{2x(1 + x)}=\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}\frac{1}{2(1 + x)}=\frac{1}{2}$。
    因为$f(x)$在$(0,1)$内单调递减，所以当$x\in(0,1)$时，$f(x)\lt\lim\limits_{x\rightarrow 0^+}f(x)=\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{\ln(1 + x)}-\frac{1}{x}\lt\frac{1}{2}$。

综上，$\frac{1}{\ln 2}-1\lt\frac{1}{\ln(1 + x)}-\frac{1}{x}\lt\frac{1}{2}$。