[例3.23]设-|||-in (0,1), 证明-|||-(1) (1+x)(ln )^2(1+x)lt (x)^2;-|||-(2) dfrac (1)(ln 2)-1lt dfrac (1)(ln (1+x))-dfrac (1)(x)lt dfrac (1)(2)

步骤 1：定义函数 $\varphi (x)$ 并求导
令 $\varphi (x)=(1+x){\ln }^{2}(1+x)-{x}^{2}$ ,则有 $\varphi (0)=0$ , $\varphi '(x)=\ln (1+x)+2\ln (1+x)-2x$ , $\varphi '(0)=0$ , $\varphi ''(x)=\dfrac {2}{1+x}[ \ln (1+x)-x] $

步骤 2：定义辅助函数 $\psi (x)$ 并求导
又令 $\psi (x)=\ln (1+x)-x$ , $\psi '(x)=\dfrac {1}{1+x}-1\lt 0,x\in (0,1)$ .

步骤 3：分析辅助函数 $\psi (x)$ 的单调性
于是, $\psi (x)$ 单调下降,当 $x\in (0,1)$ 时, $\psi (x)=\ln (1+x)-x\lt \psi (0)=0$ .

步骤 4：分析 $\varphi (x)$ 的二阶导数
因此, $\varphi ''(x)=\dfrac {2}{1+x}[ \ln (1+x)-x] \lt 0$ , $\varphi '(x)\lt \varphi '(0)=0,x\in (0,1)$ ,

步骤 5：分析 $\varphi (x)$ 的单调性
即 $\varphi (x)$ 单调下降.所以 $\varphi (x)\lt \varphi (0)=0$ ,即 $(1+x){\ln }^{2}(1+x)\lt {x}^{2}$ 。

步骤 6：定义函数 $f(x)$ 并求导
令 $f(x)=\dfrac {1}{\ln (1+x)}-\dfrac {1}{x}$ ,$x\in (0,1] $ ,则 $f'(x)=\dfrac {(1+x){\ln }^{2}(1+x)-{x}^{2}}{{x}^{2}(1+x){\ln }^{2}(1+x)}$

步骤 7：分析 $f(x)$ 的单调性
由(1)知,当 $x\in (0,1)$ $f'(x)\lt 0$ ,即 $f(x)$ 在(0,1)内单调减少.

步骤 8：分析 $f(x)$ 的极限
又 $f(x)$ 在区间(0,1]上连 续,且 $f(1)=\dfrac {1}{\ln 2}-1$ ,故当 $x\in (0,1)$ 时, $f(x)=\dfrac {1}{\ln (1+x)}-\dfrac {1}{x}\gt \dfrac {1}{\ln 2}-1$

步骤 9：计算 $f(x)$ 在 $x\rightarrow 0$ 时的极限
又 $\lim _{x\rightarrow 0}(x-1)=\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {x-\ln (1+x)}{\sin (1-2x)}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x-\ln (1+x)}{{x}^{3}}=\lim _{x\rightarrow 1}\dfrac {x}{2x(1+x)}=\dfrac {1}{2}$ ,

步骤 10：分析 $f(x)$ 的上界
于是当 $x\in (0,1)$ 时, $f(x)\lt \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}f(x)=\dfrac {1}{2}$ ,即 $f(x)=\dfrac {1}{\ln (1+x)}-\dfrac {1}{x}\lt \dfrac {1}{2}$ .