题目
1、设z=xy+(y)/(x)，求(partial^2z)/(partial xpartial y)；
1、设$z=xy+\frac{y}{x}$，求$\frac{\partial^{2}z}{\partial x\partial y}$；
题目解答
答案
先对 $y$ 求偏导数：
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = x + \frac{1}{x}
\]
再对 $x$ 求偏导数：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1 - \frac{1}{x^2}
\]
或先对 $x$ 求偏导数：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = y - \frac{y}{x^2}
\]
再对 $y$ 求偏导数：
\[
\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1 - \frac{1}{x^2}
\]
**答案：**
\[
\boxed{1 - \frac{1}{x^2}}
\]
解析
步骤 1：对 $y$ 求偏导数
首先，我们对函数 $z=xy+\frac{y}{x}$ 关于变量 $y$ 求偏导数。根据偏导数的定义，我们只对 $y$ 进行求导，而将其他变量视为常数。因此，我们得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x + \frac{1}{x} \]
步骤 2：对 $x$ 求偏导数
接下来，我们对上一步得到的结果关于变量 $x$ 求偏导数。根据偏导数的定义，我们只对 $x$ 进行求导，而将其他变量视为常数。因此，我们得到：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1 - \frac{1}{x^2} \]
步骤 3：验证结果
为了确保结果的正确性，我们也可以先对 $x$ 求偏导数，再对 $y$ 求偏导数。首先，我们对函数 $z=xy+\frac{y}{x}$ 关于变量 $x$ 求偏导数，得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y - \frac{y}{x^2} \]
然后，我们对上一步得到的结果关于变量 $y$ 求偏导数，得到：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1 - \frac{1}{x^2} \]
这与步骤 2 的结果一致，因此，我们的计算是正确的。
首先，我们对函数 $z=xy+\frac{y}{x}$ 关于变量 $y$ 求偏导数。根据偏导数的定义，我们只对 $y$ 进行求导，而将其他变量视为常数。因此，我们得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial y} = x + \frac{1}{x} \]
步骤 2：对 $x$ 求偏导数
接下来，我们对上一步得到的结果关于变量 $x$ 求偏导数。根据偏导数的定义，我们只对 $x$ 进行求导，而将其他变量视为常数。因此，我们得到：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1 - \frac{1}{x^2} \]
步骤 3：验证结果
为了确保结果的正确性，我们也可以先对 $x$ 求偏导数，再对 $y$ 求偏导数。首先，我们对函数 $z=xy+\frac{y}{x}$ 关于变量 $x$ 求偏导数，得到：
\[ \frac{\partial z}{\partial x} = y - \frac{y}{x^2} \]
然后，我们对上一步得到的结果关于变量 $y$ 求偏导数，得到：
\[ \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 1 - \frac{1}{x^2} \]
这与步骤 2 的结果一致，因此，我们的计算是正确的。