(16)设A,B,C为三个随机事件，且A与B相互独立，B与C相互独立，A与C互不相容，已知P(A)=P(C)=(1)/(4)，P(B)=(1)/(2)，则在事件A,B,C至少有一个发生的条件下，A,B,C中恰有一个发生的概率为____.

为了解决这个问题，我们需要找到在事件 $A, B, C$ 至少有一个发生的条件下， $A, B, C$ 中恰有一个发生的概率。我们用 $P(\text{恰有一个发生} \mid \text{至少有一个发生})$ 来表示这个概率。 首先，我们定义事件： - $A$：事件 $A$ 发生。 - $B$：事件 $B$ 发生。 - $C$：事件 $C$ 发生。 已知： - $A$ 和 $B$ 相互独立。 - $B$ 和 $C$ 相互独立。 - $A$ 和 $C$ 互不相容。 - $P(A) = P(C) = \frac{1}{4}$。 - $P(B) = \frac{1}{2}$。 ### 步骤1：计算 $A, B, C$ 中恰有一个发生的概率 #### 事件 $A$ 发生， $B$ 和 $C$ 不发生 \[ P(A \cap B^c \cap C^c) = P(A) \cdot P(B^c) \cdot P(C^c) \] 由于 $A$ 和 $B$ 相互独立， $A$ 和 $C$ 互不相容， $P(C^c) = 1 - P(C) = \frac{3}{4}$。 \[ P(A \cap B^c \cap C^c) = \frac{1}{4} \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{32} \] #### 事件 $B$ 发生， $A$ 和 $C$ 不发生 \[ P(B \cap A^c \cap C^c) = P(B) \cdot P(A^c) \cdot P(C^c) \] 由于 $B$ 和 $C$ 相互独立， $P(A^c) = 1 - P(A) = \frac{3}{4}$。 \[ P(B \cap A^c \cap C^c) = \frac{1}{2} \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{32} \] #### 事件 $C$ 发生， $A$ 和 $B$ 不发生 \[ P(C \cap A^c \cap B^c) = P(C) \cdot P(A^c) \cdot P(B^c) \] 由于 $C$ 和 $B$ 相互独立， $P(A^c) = \frac{3}{4}$。 \[ P(C \cap A^c \cap B^c) = \frac{1}{4} \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{32} \] #### $A, B, C$ 中恰有一个发生的总概率 \[ P(\text{恰有一个发生}) = P(A \cap B^c \cap C^c) + P(B \cap A^c \cap C^c) + P(C \cap A^c \cap B^c) \] \[ P(\text{恰有一个发生}) = \frac{3}{32} + \frac{9}{32} + \frac{3}{32} = \frac{15}{32} \] ### 步骤2：计算 $A, B, C$ 中至少有一个发生的概率 #### $A, B, C$ 都不发生 \[ P(A^c \cap B^c \cap C^c) = P(A^c) \cdot P(B^c) \cdot P(C^c) \] \[ P(A^c \cap B^c \cap C^c) = \left(1 - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{32} \] #### $A, B, C$ 中至少有一个发生 \[ P(\text{至少有一个发生}) = 1 - P(A^c \cap B^c \cap C^c) \] \[ P(\text{至少有一个发生}) = 1 - \frac{9}{32} = \frac{23}{32} \] ### 步骤3：计算条件概率 \[ P(\text{恰有一个发生} \mid \text{至少有一个发生}) = \frac{P(\text{恰有一个发生})}{P(\text{至少有一个发生})} \] \[ P(\text{恰有一个发生} \mid \text{至少有一个发生}) = \frac{\frac{15}{32}}{\frac{23}{32}} = \frac{15}{23} \] 因此，答案是 $\boxed{\frac{15}{23}}$。