六、求向量组 (alpha )_(1)=(1,-1,2,4) ,(alpha )_(2)=(0,3,1,2) , _(3)=(3,0,7,14) ,_(4)=-|||-(1,-2,2,0) 的一个极大线性无关组,并把其余向量用该极大线性无关组线性表-|||-示. (8')

六、求向量组的极大线性无关组及线性表示

考察知识

向量组的极大线性无关组、矩阵的初等行变换、线性方程组求解。

解题思路

1. 构造矩阵并作初等行变换：将向量组按列构成矩阵$A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)$，通过初等行变换化为化为行阶梯形矩阵，确定矩阵的秩及极大线性无关组。
2. 求解线性方程组表示其余向量：对非极大线性无关组的向量，设其为极大线性无关组的线性组合，通过解线性方程组确定组合系数。

详细步骤

1. 构造矩阵并初等行变换：**
   $A=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4)=\begin{pmatrix}1&1&0&3&1\\-1&3&0&-2\\2&1&7&2\\4&2&144&0\end{pmatrix}\to\begin{pmatrix}1&0&3&1\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&&&0\end{pmatrix}$
   行阶梯形矩阵的非零行有3行，故$R(A)=3$，且$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4$是极大线性无关组。
2. 表示$\alpha_3$：设$\alpha_3=x_1\alpha_1+x_2\alpha_2+x_3\alpha_4$，增广矩阵$(A|\alpha_3)$初等行变换：
   $(A|\alpha_3)\to\begin{pmatrix}1&0&1&3\\0&1&0&1\\0&0&1&0\\0&&&0\end{pmatrix}$
   解得$x_1=3,x_2=1,x_3=0$，故$\alpha_3=3\alpha_1+\alpha_2$