lim _(narrow infty )dfrac (1-{e)^-nx}(1+{e)^-nx}

考查要点：本题主要考查极限的分段讨论，特别是涉及指数函数在不同自变量取值下的极限行为。

解题核心思路：

1. 分情况讨论：根据$x$的正负及零点，分别分析当$n \to \infty$时，指数项$e^{-nx}$的极限趋势。
2. 代入化简：将指数项的极限代入原式，化简分子和分母的表达式，最终得到不同情况下的极限值。

破题关键点：

• 指数函数的单调性：当$x > 0$时，$e^{-nx} \to 0$；当$x < 0$时，$e^{-nx} \to +\infty$；当$x = 0$时，$e^{-nx} = 1$。
• 分式化简：根据指数项的极限趋势，分别计算分子和分母的极限，再求比值。

当$x = 0$时

此时$e^{-nx} = e^{0} = 1$，代入原式：
$\frac{1 - 1}{1 + 1} = \frac{0}{2} = 0.$

当$x > 0$时

当$n \to \infty$时，$-nx \to -\infty$，因此$e^{-nx} \to 0$。代入原式：
$\frac{1 - 0}{1 + 0} = \frac{1}{1} = 1.$

当$x < 0$时

当$n \to \infty$时，$-nx \to +\infty$，因此$e^{-nx} \to +\infty$。代入原式：
$\frac{1 - (+\infty)}{1 + (+\infty)} = \frac{-\infty}{+\infty} = -1.$