【周二打卡】已知函数f(x)=e^x-ax-a^3.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.

本题主要考查导数导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值问题。

1. 求曲线$y = f(x)$在点$(1,f(1))$处的切线方程

- 首先，当$a = 1$时，函数$f(x)=e^{x}-x - 1$。

• 然后，根据求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，对$f(x)$求导得$f^\prime(x)=e^{x}-1\ 1$。
• 接着，计算$f(1)$和$f^\prime(1)$的值：
  • $f(1)=e^{1}-1 - 1=e - 2$。 - $f^\prime(1)=e^{1}-1=e - 1$。
• 最后，根据点斜式方程$y - y_0 = k(x - x_0)$（其中$(x_0,y_0)$为直线上一点，$k$为直线斜率），可得切线方程为$y-(e - 2)=(e - 1)(x - 1)$。
  • 展开式子：$y-(e - 2)=(e - 1)x-(e - 1)$。
    -移项可得$y=(e - 1)x-(e - 1)+(e - 2)=(e - 1)x - 1$，化为一般式为$(e - 1)x - y - 1 = 0$。

2. **求$a$的取值范围

• 先对$f(x)=e^{x}-ax - a^{3}$求导，根据求导公式$(e^x)^\prime=e^x$，$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，可得$f^\prime(x)=e^{x}-a$。
• 令$f^\prime(x)=0$，即$e^{x}-a = 0$，移项得$e^{x}=a$。
  • 当$a\leqslant0$时，因为$e^{x}>0$，方程$e^{x}=a$无解，此时$f^\prime(x)=e^{x}-a>0$恒成立，$f(x)$在$R$上单调递增，无极值。
  • 当$a>0$时，由$e^{x=a$，两边取自然对数可得$x = \ln a$。
• 分析$f(x)$的单调性：
  • 当$x<\ln a$时，$e^{x}
  • 当$x>\ln a$时，$e^{x}>a$，则$f^\prime(x)=e^{x}-a>0$，$f(x)$单调递增。
  • 所以$x = \ln a$为$f(x)$的极小值点。
• 计算极小值$f(\ln a)$：
  • 将$x = \ln a$代入$f(x)$得$f(\ln a)=e^{\ln a}-a\ln a - a^{3}$。
  • 根据对数恒等式$e^{\ln m}=m$，可得$f(\ln a)=a - a\ln a - a^{3}$。
• 因为极小值小于$0$，即$a - a\ln a - a^{3}<0$，由于$a>0$，两边同时除以$a$得$1-\ln a - a^{2<0$，移项得$a^{2}+\ln a>1$。
• 令$g(a)=a^{2}+\ln a$，对$g(a)$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$，$(\ln x)^\prime=\frac{1}{x}$，可得$g^\prime(a)=2a+\frac{1}{a}$。
  • 因为$a>0$，所以$2a+\\frac{1}{a}>0$，即$g(a)$在$(0,+\infty)$上单调递增。
  • 又因为$g(1)=1^{2}+\ln 1 = 1$，所以$g(a)>1$即$g(a)>g(1)$，根据单调性可得$a>1$。