题目
(自测提高14)如图11-53,半径为R的空心载流无限长螺线管,单位长度有n匝线圈,导线中电流为I。今在螺线管中部以与轴成角的方向发射一个质量为m,电量为q的粒子,则该粒子初速度必须小于或等于,才能保证不与螺线管壁相撞。
(自测提高14)如图11-53,半径为R的空心载流无限长螺线管,单位长度有n匝线圈,导线中电流为I。今在螺线管中部以与轴成角的方向发射一个质量为m,电量为q的粒子,则该粒子初速度必须小于或等于
,才能保证不与螺线管壁相撞。
题目解答
答案
[解析]设粒子运动的半径为R’,则要求
,其中
,所以
.
解析
步骤 1：确定粒子在磁场中的运动轨迹
粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用，其运动轨迹为圆周运动。根据题目条件，粒子的初速度方向与螺线管轴线成角，因此粒子的运动轨迹是一个圆，其半径为$R'$。
步骤 2：计算粒子运动轨迹的半径
根据洛伦兹力公式，粒子在磁场中的运动半径$R'$可以表示为$R'=\dfrac {m{v}_{1}}{qB}$，其中${v}_{1}$是粒子在垂直于磁场方向的速度分量，$B$是磁场强度。由于粒子的初速度方向与螺线管轴线成角，因此${v}_{1}=v\sin \alpha$，其中$v$是粒子的初速度，$\alpha$是初速度方向与螺线管轴线的夹角。螺线管内部的磁场强度$B$可以表示为$B={\mu }_{0}nI$，其中${\mu }_{0}$是真空磁导率，$n$是单位长度的线圈匝数，$I$是导线中的电流。因此，粒子运动轨迹的半径$R'$可以表示为$R'=\dfrac {mv\sin \alpha }{q({\mu }_{0}nI)}$。
步骤 3：确定粒子不与螺线管壁相撞的条件
为了保证粒子不与螺线管壁相撞，粒子运动轨迹的直径必须小于或等于螺线管的直径，即$2R'\leqslant R$。将步骤 2 中得到的$R'$代入该不等式，可以得到$v\leqslant \dfrac {{\mu }_{0}mlgR}{2m\sin \alpha }$。
粒子在磁场中受到洛伦兹力的作用，其运动轨迹为圆周运动。根据题目条件，粒子的初速度方向与螺线管轴线成角，因此粒子的运动轨迹是一个圆，其半径为$R'$。
步骤 2：计算粒子运动轨迹的半径
根据洛伦兹力公式，粒子在磁场中的运动半径$R'$可以表示为$R'=\dfrac {m{v}_{1}}{qB}$，其中${v}_{1}$是粒子在垂直于磁场方向的速度分量，$B$是磁场强度。由于粒子的初速度方向与螺线管轴线成角，因此${v}_{1}=v\sin \alpha$，其中$v$是粒子的初速度，$\alpha$是初速度方向与螺线管轴线的夹角。螺线管内部的磁场强度$B$可以表示为$B={\mu }_{0}nI$，其中${\mu }_{0}$是真空磁导率，$n$是单位长度的线圈匝数，$I$是导线中的电流。因此，粒子运动轨迹的半径$R'$可以表示为$R'=\dfrac {mv\sin \alpha }{q({\mu }_{0}nI)}$。
步骤 3：确定粒子不与螺线管壁相撞的条件
为了保证粒子不与螺线管壁相撞，粒子运动轨迹的直径必须小于或等于螺线管的直径，即$2R'\leqslant R$。将步骤 2 中得到的$R'$代入该不等式，可以得到$v\leqslant \dfrac {{\mu }_{0}mlgR}{2m\sin \alpha }$。