题目
一根长为2a的细金属杆MN与载流长直导线共面,导线中通过的电流为I,金属杆M端距导线距离为a,如图所示。金属杆MN以速度v向上运动时,杆内产生的电动势为A. ε=μ0 I v ln2 / 2π,方向由N到M. B. ε=μ0 I v ln2 / 2π,方向由M到N. C. ε=μ0 I v ln3 / 2π,方向由N到M. D. ε=μ0 I v ln3 / 2π,方向由M到N. [ ] E. ↑ F. v G. M N 2a I 题一(5)图
一根长为2a的细金属杆MN与载流长直导线共面,导线中通过的电流为I,金属杆M端距导线距离为a,如图所示。金属杆MN以速度v向上运动时,杆内产生的电动势为
A. ε=μ0 I v ln2 / 2π,方向由N到M.B. ε=μ0 I v ln2 / 2π,方向由M到N.
C. ε=μ0 I v ln3 / 2π,方向由N到M.
D. ε=μ0 I v ln3 / 2π,方向由M到N. [ ]
E.
F. v
G. M N
2a
I
题一(5)图
题目解答
答案
C. ε=μ0 Iv ln3 / 2π,方向由N到M.
解析
步骤 1：确定磁场分布
根据毕奥-萨伐尔定律，载流长直导线在空间中产生的磁场为：
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\( \mu_0 \) 是真空磁导率，\( I \) 是导线中的电流，\( r \) 是到导线的距离。
步骤 2：计算电动势
金属杆MN在磁场中运动时，会产生电动势。根据法拉第电磁感应定律，电动势为：
\[ \varepsilon = \int_{M}^{N} \mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} \]
其中，\( \mathbf{v} \) 是金属杆的速度，\( \mathbf{B} \) 是磁场，\( d\mathbf{l} \) 是金属杆上的微小长度。
步骤 3：计算积分
由于金属杆MN与载流长直导线共面，且金属杆MN以速度v向上运动，因此，电动势为：
\[ \varepsilon = \int_{a}^{3a} \frac{\mu_0 I v}{2\pi r} dr \]
\[ \varepsilon = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \int_{a}^{3a} \frac{1}{r} dr \]
\[ \varepsilon = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln \left( \frac{3a}{a} \right) \]
\[ \varepsilon = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln 3 \]
步骤 4：确定电动势方向
根据右手定则，电动势的方向由N到M。
根据毕奥-萨伐尔定律，载流长直导线在空间中产生的磁场为：
\[ B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r} \]
其中，\( \mu_0 \) 是真空磁导率，\( I \) 是导线中的电流，\( r \) 是到导线的距离。
步骤 2：计算电动势
金属杆MN在磁场中运动时，会产生电动势。根据法拉第电磁感应定律，电动势为：
\[ \varepsilon = \int_{M}^{N} \mathbf{v} \times \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} \]
其中，\( \mathbf{v} \) 是金属杆的速度，\( \mathbf{B} \) 是磁场，\( d\mathbf{l} \) 是金属杆上的微小长度。
步骤 3：计算积分
由于金属杆MN与载流长直导线共面，且金属杆MN以速度v向上运动，因此，电动势为：
\[ \varepsilon = \int_{a}^{3a} \frac{\mu_0 I v}{2\pi r} dr \]
\[ \varepsilon = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \int_{a}^{3a} \frac{1}{r} dr \]
\[ \varepsilon = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln \left( \frac{3a}{a} \right) \]
\[ \varepsilon = \frac{\mu_0 I v}{2\pi} \ln 3 \]
步骤 4：确定电动势方向
根据右手定则，电动势的方向由N到M。