一半径为R的无限长半圆柱形金属薄片,其中通有电流,如图所示。试求圆柱轴线上一点P的磁感应强度。

考查要点：本题主要考查载流导体的磁场计算，特别是对称性分析和积分法的应用。需要将半圆柱形电流分布分解为无数无限长直导线的等效电流元，结合对称性简化积分过程。

解题核心思路：

1. 等效分解：将半圆柱形金属薄片视为无数平行直导线的集合，每个微小电流元的磁场按无限长直导线公式计算。
2. 对称性分析：利用半圆柱的对称性，确定磁场方向仅沿x轴正向，y方向分量相互抵消。
3. 积分求和：对所有电流元的x方向磁场分量进行积分，得到总磁场。

破题关键点：

• 电流元的表达式：根据电流均匀分布，推导微小弧长对应的电流$dI$。
• 磁场方向的分解：将每个电流元的磁场分解为x和y分量，利用对称性排除y方向的贡献。
• 积分范围与计算：正确确定积分上下限并完成三角函数积分。

电流元的分解

将半圆柱形金属薄片视为由无数平行直导线组成。取角度$\theta$处微小弧长$Rd\theta$对应的电流元：
$dI = \frac{I}{\pi R} \cdot Rd\theta = \frac{I}{\pi} d\theta$

磁场的计算

每个电流元在P点产生的磁场大小为：
$dB = \frac{\mu_0 dI}{2\pi R} = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} d\theta$

磁场方向的分解

磁场方向在xy平面内，与y轴夹角为$\theta$。分解为x方向分量：
$dB_x = dB \sin\theta = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} \sin\theta d\theta$

积分求总磁场

对$\theta$从$0$到$\pi$积分：
$B = \int_0^\pi dB_x = \frac{\mu_0 I}{2\pi^2 R} \int_0^\pi \sin\theta d\theta = \frac{\mu_0 I}{\pi^2 R}$