[题目]设二维随机变量(x,Y)具有概率密度-|||-f(x,y)= ) 2(e)^-(2x+y),xgt 0,ygt 0 .-|||-(1)求分布函数F(x yì-|||-(2)求概率 yleqslant x

考查要点：本题主要考查二维随机变量的分布函数计算及概率计算，涉及二重积分的应用和积分区域的转换。

解题思路：

1. 分布函数：根据联合概率密度函数的定义，分情况讨论积分区域，特别注意非负区域的积分范围。
2. 概率计算：通过几何意义确定积分区域，合理选择积分顺序简化计算，利用指数函数的积分性质求解。

关键点：

• 分布函数的计算需明确积分区域，当变量为负时概率密度为0。
• 概率计算中，交换积分顺序可将二重积分转化为单变量积分，简化运算。

第（1）题：求分布函数$F(x,y)$

步骤1：确定积分区域
当$x \leq 0$或$y \leq 0$时，$f(x,y)=0$，故$F(x,y)=0$。
当$x > 0$且$y > 0$时，积分区域为$x' \in [0, x]$，$y' \in [0, y]$。

步骤2：计算二重积分
$\begin{aligned}F(x,y) &= \int_{0}^{x} \int_{0}^{y} 2e^{-(2u + v)} \, dv \, du \\&= \int_{0}^{x} 2e^{-2u} \left( \int_{0}^{y} e^{-v} \, dv \right) du \\&= \int_{0}^{x} 2e^{-2u} \left( 1 - e^{-y} \right) du \\&= 2 \left( 1 - e^{-y} \right) \int_{0}^{x} e^{-2u} \, du \\&= 2 \left( 1 - e^{-y} \right) \cdot \frac{1 - e^{-2x}}{2} \\&= (1 - e^{-2x})(1 - e^{-y}).\end{aligned}$

结论：
$F(x,y) = \begin{cases}(1 - e^{-2x})(1 - e^{-y}), & x > 0, y > 0, \\0, & \text{其他情况}.\end{cases}$

第（2）题：求概率$P\{ Y \leqslant X \}$

步骤1：确定积分区域
事件$\{ Y \leqslant X \}$对应区域为$y \leq x$，且$x > 0, y > 0$。

步骤2：交换积分顺序
选择先对$x$积分，再对$y$积分：
$\begin{aligned}P\{ Y \leqslant X \} &= \int_{0}^{\infty} \int_{y}^{\infty} 2e^{-(2x + y)} \, dx \, dy \\&= \int_{0}^{\infty} 2e^{-y} \left( \int_{y}^{\infty} e^{-2x} \, dx \right) dy \\&= \int_{0}^{\infty} 2e^{-y} \cdot \frac{e^{-2y}}{2} \, dy \\&= \int_{0}^{\infty} e^{-3y} \, dy \\&= \frac{1}{3}.\end{aligned}$

结论：
$P\{ Y \leqslant X \} = \frac{1}{3}.$