题目
[题目]设二维随机变量(x,Y)具有概率密度-|||-f(x,y)= ) 2(e)^-(2x+y),xgt 0,ygt 0 .-|||-(1)求分布函数F(x yì-|||-(2)求概率 yleqslant x
题目解答
答案
解析
步骤 1：求分布函数F(x,y)
分布函数F(x,y)定义为随机变量(X,Y)小于等于(x,y)的概率，即 $F(x,y)=P(X\leqslant x,Y\leqslant y)$。对于给定的概率密度函数f(x,y)，分布函数可以通过对f(x,y)在x和y的负无穷到x和y的积分得到。
步骤 2：计算分布函数F(x,y)
当x>0且y>0时，分布函数F(x,y)为 $F(x,y)={\int }_{-\infty }^{x}{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dudv$。由于f(x,y)在x>0且y>0时为$2{e}^{-(2x+y)}$，在其他区域为0，因此分布函数F(x,y)为 $F(x,y)={\int }_{0}^{x}{\int }_{0}^{y}2{e}^{-(2u+v)}dudv$。
步骤 3：计算概率 $P\{ Y\leqslant X\} $
概率 $P\{ Y\leqslant X\} $ 可以通过在xOy平面上对概率密度函数f(x,y)在y
分布函数F(x,y)定义为随机变量(X,Y)小于等于(x,y)的概率，即 $F(x,y)=P(X\leqslant x,Y\leqslant y)$。对于给定的概率密度函数f(x,y)，分布函数可以通过对f(x,y)在x和y的负无穷到x和y的积分得到。
步骤 2：计算分布函数F(x,y)
当x>0且y>0时，分布函数F(x,y)为 $F(x,y)={\int }_{-\infty }^{x}{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)dudv$。由于f(x,y)在x>0且y>0时为$2{e}^{-(2x+y)}$，在其他区域为0，因此分布函数F(x,y)为 $F(x,y)={\int }_{0}^{x}{\int }_{0}^{y}2{e}^{-(2u+v)}dudv$。
步骤 3：计算概率 $P\{ Y\leqslant X\} $
概率 $P\{ Y\leqslant X\} $ 可以通过在xOy平面上对概率密度函数f(x,y)在y