20.设某列波的波动方程为 =10sin (10pi t-dfrac (x)(100))cm ,在波线上 =lambda 处质点的位移方程为-|||-() .-|||-A. =10sin (10pi t-2pi ) ; B. =10sin (10pi t-dfrac (20)(100)) :-|||-C. =10sin (10pi t-1) ; D. =10cos (10pi t-2pi )

本题考查波动方程中质点位移方程的求解。关键在于理解波动方程的结构，确定波长$\lambda$，并代入特定位置$x=\lambda$处的相位关系。

核心思路：

1. 波动方程的标准形式：$y = A \sin(\omega t - kx + \phi)$，其中$\omega$为角频率，$k$为波数，满足$k = \frac{2\pi}{\lambda}$。
2. 波长$\lambda$的计算：通过题目中的波数$k = \frac{1}{100}$，结合$k = \frac{2\pi}{\lambda}$，求出$\lambda = 200\pi$。
3. 代入$x = \lambda$：将$x = \lambda$代入原方程，得到相位为$\omega t - k\lambda = 10\pi t - 2\pi$，从而确定位移方程。

步骤1：确定波长$\lambda$

波动方程中的波数$k = \frac{1}{100}$，根据波数与波长的关系：
$k = \frac{2\pi}{\lambda} \implies \lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\frac{1}{100}} = 200\pi \, \text{cm}.$

步骤2：代入$x = \lambda$处的相位

将$x = \lambda = 200\pi$代入原方程的相位部分：
$\text{相位} = 10\pi t - \frac{x}{100} = 10\pi t - \frac{200\pi}{100} = 10\pi t - 2\pi.$

步骤3：确定位移方程

原方程为$y = 10\sin(10\pi t - \frac{x}{100})$，代入$x = \lambda$后，位移方程为：
$y = 10\sin(10\pi t - 2\pi).$

选项分析

• 选项A：$y = 10\sin(10\pi t - 2\pi)$，与推导结果一致。
• 选项B：相位错误，应为$-2\pi$而非$-\frac{20}{100}$。
• 选项C：相位错误，数值与单位不符。
• 选项D：函数形式错误（余弦函数与原方程的正弦函数不匹配）。