题目
一石头从空中由静止下落，由于空气阻力，石头并非做自由落体运动.现已知加速度 a = A - Bv，式中A、B为常量.石头的速度随时间变化的关系式为（ ）A. v = (B)/(A)(1 - e^-Bt)B. v = (B)/(A)(1 - e^-At)C. v = (A)/(B)(1 - e^-Bt)D. v = (A)/(B)(1 - e^-At)
一石头从空中由静止下落，由于空气阻力，石头并非做自由落体运动.现已知加速度 $a = A - Bv$，式中A、B为常量.石头的速度随时间变化的关系式为（ ）
A. $v = \frac{B}{A}(1 - e^{-Bt})$
B. $v = \frac{B}{A}(1 - e^{-At})$
C. $v = \frac{A}{B}(1 - e^{-Bt})$
D. $v = \frac{A}{B}(1 - e^{-At})$
题目解答
答案
根据题意，加速度 $ a = A - Bv $，可写为 $ \frac{dv}{dt} = A - Bv $。
将方程分离变量得：
\[
\frac{dv}{A - Bv} = dt
\]
两边积分，初条件为 $ v(0) = 0 $：
\[
\int_{0}^{v} \frac{dv}{A - Bv} = \int_{0}^{t} dt
\]
左边积分结果为：
\[
-\frac{1}{B} \ln|A - Bv| \bigg|_{0}^{v} = t
\]
即：
\[
-\frac{1}{B} \left( \ln|A - Bv| - \ln A \right) = t
\]
化简得：
\[
\ln \left( \frac{A - Bv}{A} \right) = -Bt
\]
取指数得：
\[
\frac{A - Bv}{A} = e^{-Bt}
\]
解得：
\[
v = \frac{A}{B} (1 - e^{-Bt})
\]
因此，正确答案是 $ v = \frac{A}{B} (1 - e^{-Bt}) $，对应选项 C。
答案：C. $ v = \frac{A}{B} (1 - e^{-Bt}) $