(10 分)一长圆柱状磁场,磁场方向沿轴线并垂直图面向里,磁场大小既随到轴线的距离r成正比而变化,又随时间t作正弦变化,即B =Brsin?t,B、?均为常数.若在磁场内放一半径为a的金属圆环,环心在圆柱状磁场的轴线上,求金属环中的感生电动势,并讨论其方向.

步骤 1：确定磁场的分布
磁场大小随到轴线的距离r成正比变化，又随时间t作正弦变化，即B = Brsin?t，其中B、?均为常数。这意味着磁场的大小在空间上是径向分布的，并且随时间变化。

步骤 2：计算磁通量
磁通量是磁场穿过一个闭合回路的量度。对于半径为a的金属圆环，磁通量可以通过积分磁场B在圆环面积上的投影来计算。由于磁场是径向分布的，我们只需要考虑圆环内部的磁场，即从r=0到r=a的积分。
$\phi =\int B2\pi rdr={\int }_{0}^{a}{B}_{0}r2\pi r\sin \omega tdr$
$=\left(2\pi /3\right){B}_{0}{a}^{3}\sin \omega t$

步骤 3：计算感生电动势
根据法拉第电磁感应定律，感生电动势等于磁通量对时间的变化率的负值。因此，我们需要对磁通量关于时间t求导。
${\epsilon }_{i}=-d\phi /dt=-\left(2\pi /3\right){B}_{0}{a}^{3}\omega \cos \omega t$

步骤 4：讨论电动势的方向
根据楞次定律，感生电动势的方向总是试图阻止引起它的磁通量的变化。因此，当磁通量增加时，感生电动势的方向与磁通量增加的方向相反；当磁通量减少时，感生电动势的方向与磁通量减少的方向相反。在这个问题中，当$\omega t$增加时，电动势的方向沿顺时针方向。