题目
10-10 一波源做简谐振动,周期为 dfrac (1)(100)s, 振幅为0.1m,以波源经平衡位置向正方向运动时-|||-作为计时起点.设此振动以 =400mcdot (s)^-1 的速度沿直线传播,以波源处为原点,波传播方向为x-|||-轴正向.-|||-(1)试写出波函数;-|||-(2)求 _(1)=16m 处的质点在 _(1)=0.01s 时的运动状态(位移和振动速度);-|||-(3)此运动状态在哪一时刻传至 _(2)=40m 处?
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定波源振动的初相位
波源在平衡位置向正方向运动时作为计时起点，因此初相位为 $\phi = \frac{3}{2}\pi$。
步骤 2：计算角频率
角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = 200\pi \, \text{rad/s}$。
步骤 3：写出波函数
波函数为 $y = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中 $A = 0.1 \, \text{m}$，$k = \frac{\omega}{u} = \frac{200\pi}{400} = \frac{\pi}{2} \, \text{rad/m}$。
步骤 4：计算 ${x}_{1}=16m$ 处的质点在 ${t}_{1}=0.01s$ 时的位移
将 $x_1 = 16 \, \text{m}$ 和 $t_1 = 0.01 \, \text{s}$ 代入波函数，得到 $y_1 = 0.1\cos(200\pi \times 0.01 - \frac{\pi}{2} \times 16 + \frac{3}{2}\pi) = 0.1\cos(2\pi - 8\pi + \frac{3}{2}\pi) = 0.1\cos(-\frac{11}{2}\pi) = 0$。
步骤 5：计算 ${x}_{1}=16m$ 处的质点在 ${t}_{1}=0.01s$ 时的振动速度
振动速度 $v = -A\omega\sin(\omega t - kx + \phi)$，将 $x_1 = 16 \, \text{m}$ 和 $t_1 = 0.01 \, \text{s}$ 代入，得到 $v_1 = -0.1 \times 200\pi \sin(200\pi \times 0.01 - \frac{\pi}{2} \times 16 + \frac{3}{2}\pi) = -20\pi \sin(-\frac{11}{2}\pi) = 20\pi$。
步骤 6：计算运动状态传至 ${x}_{2}=40m$ 处的时刻
将 $x_2 = 40 \, \text{m}$ 代入波函数，得到 $y_2 = 0.1\cos(200\pi t - \frac{\pi}{2} \times 40 + \frac{3}{2}\pi) = 0.1\cos(200\pi t - 20\pi + \frac{3}{2}\pi)$。当 $y_2 = 0$ 时，有 $\cos(200\pi t - 20\pi + \frac{3}{2}\pi) = 0$，解得 $t = 0.05 \, \text{s}$。
波源在平衡位置向正方向运动时作为计时起点，因此初相位为 $\phi = \frac{3}{2}\pi$。
步骤 2：计算角频率
角频率 $\omega = \frac{2\pi}{T} = 200\pi \, \text{rad/s}$。
步骤 3：写出波函数
波函数为 $y = A\cos(\omega t - kx + \phi)$，其中 $A = 0.1 \, \text{m}$，$k = \frac{\omega}{u} = \frac{200\pi}{400} = \frac{\pi}{2} \, \text{rad/m}$。
步骤 4：计算 ${x}_{1}=16m$ 处的质点在 ${t}_{1}=0.01s$ 时的位移
将 $x_1 = 16 \, \text{m}$ 和 $t_1 = 0.01 \, \text{s}$ 代入波函数，得到 $y_1 = 0.1\cos(200\pi \times 0.01 - \frac{\pi}{2} \times 16 + \frac{3}{2}\pi) = 0.1\cos(2\pi - 8\pi + \frac{3}{2}\pi) = 0.1\cos(-\frac{11}{2}\pi) = 0$。
步骤 5：计算 ${x}_{1}=16m$ 处的质点在 ${t}_{1}=0.01s$ 时的振动速度
振动速度 $v = -A\omega\sin(\omega t - kx + \phi)$，将 $x_1 = 16 \, \text{m}$ 和 $t_1 = 0.01 \, \text{s}$ 代入，得到 $v_1 = -0.1 \times 200\pi \sin(200\pi \times 0.01 - \frac{\pi}{2} \times 16 + \frac{3}{2}\pi) = -20\pi \sin(-\frac{11}{2}\pi) = 20\pi$。
步骤 6：计算运动状态传至 ${x}_{2}=40m$ 处的时刻
将 $x_2 = 40 \, \text{m}$ 代入波函数，得到 $y_2 = 0.1\cos(200\pi t - \frac{\pi}{2} \times 40 + \frac{3}{2}\pi) = 0.1\cos(200\pi t - 20\pi + \frac{3}{2}\pi)$。当 $y_2 = 0$ 时，有 $\cos(200\pi t - 20\pi + \frac{3}{2}\pi) = 0$，解得 $t = 0.05 \, \text{s}$。